Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 5,5 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з 16 зубцями й модулем 3 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 5,5 kWn = 2900 rpmN₁ = 16m = 3 mm

F_t = N

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (16 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1450 rpm і приводить колесо B (20 зуб.). Колесо C (12 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (24 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1450 rpmA = 16B = 20C = 12D = 24

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 10 mm закручують моментом 40 N·m. Два кінці розрахункової довжини 200 mm повертаються один відносно одного на 5,84° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 40 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 5,84°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) передає 15 kW при 1000 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 80 MPa, а кут закручування — 0,25° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 15 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 60 MPa і σᵧ = −60 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 90 MPa?

σ_x = 60 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = 90 MPa

τ_xy = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 1500 mm і товщиною стінки 5 mm містить газ під надлишковим тиском 1,2 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 30° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 1500 mmt = 5 mmp = 1,2 MPaα = 30°

σ_n = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 60 мм, довжина 200 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,5 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 105 kNділянка 1: Ø25 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 0,5 m, алюміній (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 10 kg спирається на пружину жорсткістю 150 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 120 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 10 kgk = 150 kN/mc = 120 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 40 kN/m і k₂ = 20 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 754,6 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 5500/303,7 = 18,11 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 3·16 = 48 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·18,11/0,048 = 754,6 N

Відповідь

F_t = 754,6 N

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 580 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 1450·16/20 = 1160 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1160·12/24 = 580 rpm

Відповідь

n_out = 580 rpm

загальне передаточне відношення = 2,5 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: G = 79,95 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 5,84·π/180 = 0,1019 rad

Модуль зсуву

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·200/(981,7·0,1019) = 79947 MPa

G = 79,95 GPa

Відповідь

G = 79,95 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 45,22 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 143,2 N·m = 143239 N·mm

d_τ = ∛(16·143239/(π·80)) = 20,89 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·143239/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 45,22 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(20,89, 45,22) = 45,22 mm

Відповідь

d = 45,22 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 67,08 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (60 + (−60))/2 = 0 MPa

R = σ₁ − C = 90 − 0 = 90 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 60²) = 67,08 MPa

Відповідь

τ_xy = 67,08 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 157,5 MPa

Напруження в стінці

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1,2·750/5 = 180 MPa

σ_a = pr/(2t) = 90 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 90·sin²30° + 180·cos²30° = 157,5 MPa

Відповідь

σ_n = 157,5 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 57,7 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·2827) = 7,074 × 10⁻⁷ mm/N

Навантаження

P = 0,5/8,665 × 10⁻⁶ = 57703 N = 57,7 kN

Відповідь

P = 57,7 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 928,4 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 213,9 MPa

σ₂ = 928,4 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 928,4 MPa

Відповідь

σ_max = 928,4 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 35,98 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1000² = 35983 N = 35,98 kN

Відповідь

P_cr = 35,98 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 7,896 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/5 = 500

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Відповідь

σ_cr = 7,896 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,04899

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·10) = 2449 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 120/2449 = 0,04899

Відповідь

ζ = 0,04899

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 8,717 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 20 = 60 kN/m

Власна частота

ω_n = √(60000/20) = 54,77 rad/s

f_n = 54,77/(2π) = 8,717 Hz

Відповідь

f_n = 8,717 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design