Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 56,25 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 1,5 mm і передаточним відношенням 1,5 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₁ має мати шестірня?

a = 56,25 mmm = 1,5 mmi = 1,5

N₁ =

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (16 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 960 rpm і приводить колесо B (72 зубців). Колесо C (18 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 48 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 960 rpmA = 16B = 72C = 18n_out = 48 rpm

N_D =

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 750 N·md = 25 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 50 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 2,5 m від A і 2 m від B, прикладено обертовий момент 1500 N·m. Знайдіть кут повороту φ_C перерізу C у градусах.

d = 50 mmT₀ = 1500 N·ma = 2,5 mb = 2 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 0 MPa і σᵧ = 60 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 115 MPa?

σ_x = 0 MPaσ_y = 60 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 90 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° за годинниковою стрілкою від осі x.

σ_x = 90 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 15 kNd = 10 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з латунь (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 100 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 80 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 40 kg на пружині жорсткістю 5 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,5. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 40 kgk = 5 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 40 kN/m, нижня — k₂ = 12 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 5 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₁ = 30

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·56,25/1,5 = 75

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 75/(1 + 1,5) = 30

Відповідь

N₁ = 30

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 960·16/72 = 213,3 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 18·213,3/48 = 80

Відповідь

N_D = 80

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 14,01 °

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(80000·38350) = 0,2445 rad

φ = 0,2445·180/π = 14,01°

Відповідь

φ = 14,01°

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 1,945 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише T_A + T_B = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·2/4,5 = 666,7 N·m

T_B = 1500·2,5/4,5 = 833,3 N·m

Кут повороту C

Використайте ділянку AC: вона закріплена в A і передає T_A.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 666667·2500/(80000·613592) = 0,03395 rad = 1,945°

Відповідь

φ_C = 1,945°

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 79,53 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (0 + 60)/2 = 30 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 30 = 85 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 30²) = 79,53 MPa

Відповідь

τ_xy = 79,53 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 145 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 85 + 5·0 + −60·−1 = 145 MPa

Відповідь

σ_θ = 145 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 5,457 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 15·1000/78,54 = 191 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 191/70000 = 0,002728 = 2728 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,002728·2000 mm = 5,457 mm

Відповідь

δ = 5,457 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 19,71 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 100000·706,9/400 = 176715 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 80000·176715/1,014 × 10⁶ = 13935 N

Напруження

σ₂ = 13935/706,9 = 19,71 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 19,71 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 93,25 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/4200² = 93250 N = 93,25 kN

Відповідь

P_cr = 93,25 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 12,34 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/6,25 = 400

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Відповідь

σ_cr = 12,34 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 1,541 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(5000/40) = 11,18 rad/s

f_n = 11,18/(2π) = 1,779 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,779·√(1 − 0,5²) = 1,541 Hz

Відповідь

f_d = 1,541 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 9,231 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/12 → k_eq = 40·12/(40 + 12) = 9,231 kN/m

Відповідь

k_eq = 9,231 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design