Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 0,37 kW із частотою 2900 rpm приводить черв’як із кількістю заходів 2. Черв’ячне колесо має 48 зубців, ККД передачі 55 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_w на валу колеса.

z = 2N_w = 48n = 2900 rpmP = 0,37 kWη = 55%

T_w = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує шків 160 мм і шків 400 мм, центри яких розташовані на відстані 600 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d₁ = 160 mmd₂ = 400 mmC = 600 mm

θ = °

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (сталь; зовнішній діаметр 60 mm, внутрішній діаметр 45 mm, довжина 0,5 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 2000 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 2000 N·md_o = 60 mmd_i = 45 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 50 kW при 3000 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,8 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 50 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 50 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 70 MPa, σᵧ = −10 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° за годинниковою стрілкою від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (мідь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 12 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 250 МПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 110 ГПа, допустиме напруження 50 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaтруба: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 25 kg на пружині жорсткістю 20 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,6. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 25 kgk = 20 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 15 kN/m і k₂ = 10 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_w = 16,08 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання колеса

n_w = n·z/N_w = 2900·2/48 = 120,8 rpm

Вихідний крутний момент

ω_w = 2π·120,8/60 = 12,65 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,55·370/12,65 = 16,08 N·m

Відповідь

T_w = 16,08 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 156,9 °

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут паса

asin(0,2) = 11,54°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·11,54 = 156,9°

Відповідь

θ = 156,9°

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,8234 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Кут закручування

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·500/(80000·869767) = 0,01437 rad

φ = 0,01437·180/π = 0,8234°

Відповідь

φ = 0,8234°

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 26,35 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 50000/314,2 = 159,2 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 159,2 N·m = 159155 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·159155/(π·75·0,5904)) = 26,35 mm

d_i = 0,8·26,35 = 21,08 mm

Відповідь

d_o = 26,35 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 22,11 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 42,72 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((50 − 80)/2)² + −40²) = 42,72 MPa

Відповідь

τ_max = 42,72 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = 40 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −40·−1 + −50·0 = 40 MPa

Відповідь

τ_θ = 40 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 7179 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 95·1000/113,1 = 840 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 840/117000 = 0,007179 = 7179 µε

Відповідь

ε = 7179 µε

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 174,2 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·2199 = 3,833 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00125, 0,0004545) = 0,0004545 (бронза)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0004545·3,833 × 10⁸ = 174216 N = 174,2 kN

Відповідь

P_max = 174,2 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 62,01 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62,01 kN

Відповідь

P_cr = 62,01 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 12,34 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/12,5 = 400

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Відповідь

σ_cr = 12,34 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 3,601 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(20000/25) = 28,28 rad/s

f_n = 28,28/(2π) = 4,502 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,502·√(1 − 0,6²) = 3,601 Hz

Відповідь

f_d = 3,601 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 25 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 10 = 25 kN/m

Відповідь

k_eq = 25 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design