Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 5,5 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 50, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 72. ККД зубчастої пари — 97 %. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 5,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 50N₂ = 72η = 97%

T₂ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (72 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1500 rpm і приводить колесо B (80 зуб.). Колесо C (20 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (24 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1500 rpmA = 72B = 80C = 20D = 24

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 500 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 50 mm закріплений в A. У B, на відстані 0,5 m від A, діє обертовий момент 200 N·m, а на вільному кінці C, ще на 3 m далі, діє момент 1500 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 50 mmT_B = 200 N·mT_C = 1500 N·mAB = 0,5 mBC = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −20 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 100 MPa, σᵧ = −80 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σ_vM.

σ_x = 100 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 25 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 60 мм, довжина 400 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,3 мм.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 150 МПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 110 ГПа, допустиме напруження 80 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 80 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 80 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 30 mm через 5 циклів іде пік 16 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 30 mmx₅ = 16 mmn = 5

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 60 kN/m і k₂ = 60 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 5 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 50,95 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/150,8 = 36,47 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 36,47·72/50·0,97 = 50,95 N·m

Відповідь

T₂ = 50,95 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 1125 rpm

Перший ступінь

n_B = 1500·72/80 = 1350 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1350·20/24 = 1125 rpm

Відповідь

n_out = 1125 rpm

загальне передаточне відношення = 1,333 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,14 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(80000·251327) = 0,01989 rad

φ = 0,01989·180/π = 1,14°

Відповідь

φ = 1,14°

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 6,011 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 200 = 1300 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1,3 × 10⁶·500/(80000·613592) = 0,01324 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·3000/(80000·613592) = 0,09167 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = 0,01324 + 0,09167 = 0,1049 rad → |φ_C| = 6,011°

Відповідь

φ_C = 6,011°

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 31,62 MPa

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((−20 − −40)/2)² + 30²) = 31,62 MPa

Відповідь

τ_max = 31,62 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_vM = 178,6 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 10 MPa, R = 103 MPa

σ₁ = 113 MPa, σ₂ = −92,96 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(113² − 113·(−92,96) + (−92,96)²) = 178,6 MPa

Відповідь

σ_vM = 178,6 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 39,86 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·2827) = 1,415 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,3/7,526 × 10⁻⁶ = 39860 N = 39,86 kN

Відповідь

P = 39,86 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 473,5 kN

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·5027 = 6,511 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00075, 0,0007273) = 0,0007273 (бронза)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0007273·6,511 × 10⁸ = 473524 N = 473,5 kN

Відповідь

P_max = 473,5 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 3,504 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2800² = 3504 N = 3,504 kN

Відповідь

P_cr = 3,504 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 66,38 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·80000 = 240000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 66,38 mm

Відповідь

d = 66,38 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 168,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,02001

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/5)·ln(30/16) = 0,1257

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1257/√(39,48 + 0,01581) = 0,02001

Відповідь

ζ = 0,02001

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 120 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 60 = 120 kN/m

Відповідь

k_eq = 120 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design