Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 7,5 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 18, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 72. ККД зубчастої пари — 96 %. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 7,5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 18N₂ = 72η = 96%

T₂ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (12 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 3000 rpm і приводить колесо B (15 зуб.). Колесо C (40 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (72 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 3000 rpmA = 12B = 15C = 40D = 72

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) завдовжки 1,5 m передає обертовий момент 100 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 2°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 100 N·mL = 1,5 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 20 kW при 500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 140 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 130 MPa, σᵧ = −80 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 50° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 55 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 15 kNділянка 1: Ø40 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1,5 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 50 mm через 2 циклів іде пік 26,7 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 50 mmx₂ = 26,7 mmn = 2

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 10 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 100 kN/m, нижня — k₂ = 25 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 10 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 189,7 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/151,8 = 49,39 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 49,39·72/18·0,96 = 189,7 N·m

Відповідь

T₂ = 189,7 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 1333 rpm

Перший ступінь

n_B = 3000·12/15 = 2400 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 2400·40/72 = 1333 rpm

Відповідь

n_out = 1333 rpm

загальне передаточне відношення = 2,25 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: d = 36,02 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·1500/(26000·0,03491) = 165276 mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 36,02 mm

Відповідь

d = 36,02 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 29,6 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·75)) = 29,6 mm

Відповідь

d = 29,6 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 36,06 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((140 − 80)/2)² + −20²) = 36,06 MPa

Відповідь

τ_max = 36,06 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = −98,2 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −105·0,9848 + −30·−0,1736 = −98,2 MPa

Відповідь

τ_θ = −98,2 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,244 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 55·1000/314,2 = 175,1 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 175,1/117000 = 0,001496 = 1496 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001496·1500 mm = 2,244 mm

Відповідь

δ = 2,244 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 132,6 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 11,94 MPa

σ₂ = 132,6 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 132,6 MPa

Відповідь

σ_max = 132,6 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 17,3 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3500² = 17303 N = 17,3 kN

Відповідь

P_cr = 17,3 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 31,58 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Відповідь

σ_cr = 31,58 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,04986

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/2)·ln(50/26,7) = 0,3137

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3137/√(39,48 + 0,09839) = 0,04986

Відповідь

ζ = 0,04986

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 7,118 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/25 → k_eq = 100·25/(100 + 25) = 20 kN/m

Власна частота

ω_n = √(20000/10) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Відповідь

f_n = 7,118 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design