Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 3 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з 25 зубцями й модулем 2,5 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 3 kWn = 960 rpmN₁ = 25m = 2,5 mm

F_t = N

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 11 kW із частотою 960 rpm приводить колесо A (16 зубців), зчеплене з колесом B (32 зубців). Колесо C (45 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (80 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 97 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 11 kWn_in = 960 rpmA = 16B = 32C = 45D = 80η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 10 kW при 1000 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,6 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 10 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −80 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 50° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = −80 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 90 MPa, σᵧ = −20 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 25° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з алюміній (діаметр 40 мм, довжина 200 мм, E = 70 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,3 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 45 kNділянка 1: Ø40 mm, 1,5 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 50 kg спирається на пружину жорсткістю 80 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 400 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 50 kgk = 80 kN/mc = 400 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 25 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 10 kN/m і k₂ = 15 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 954,9 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 3000/100,5 = 29,84 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 2,5·25 = 62,5 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·29,84/0,0625 = 954,9 N

Відповідь

F_t = 954,9 N

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 366,1 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Вихідна частота обертання

n_out = 960·(16/32)·(45/80) = 270 rpm

ω_out = 2π·270/60 = 28,27 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 11000·0,97² = 10350 W

T_out = P_out/ω_out = 10350/28,27 = 366,1 N·m

Відповідь

T_out = 366,1 N·m

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 5,603 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(80000·38350) = 0,09778 rad

φ = 0,09778·180/π = 5,603°

Відповідь

φ = 5,603°

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 21,04 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 10000/104,7 = 95,49 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·60·0,8704)) = 21,04 mm

d_i = 0,6·21,04 = 12,62 mm

Відповідь

d_o = 21,04 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 20,09 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = −26,63 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = −75 − (−5)·(−0,1736) − (−50)·0,9848 = −26,63 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = −123,4 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −150 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = −26,63 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = −22,85 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −55·0,766 + 30·0,6428 = −22,85 MPa

Відповідь

τ_θ = −22,85 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 42,56 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1257) = 2,274 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,3/7,048 × 10⁻⁶ = 42564 N = 42,56 kN

Відповідь

P = 42,56 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 4,094 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 35,81 MPa

σ₂ = 223,8 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 35,81·1500/200000 = 0,2686 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 223,8·2000/117000 = 3,826 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,094 mm

Відповідь

δ = 4,094 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 23,55 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23,55 kN

Відповідь

P_cr = 23,55 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 2,999 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12,5 = 480

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/480² = 2,999 MPa

Відповідь

σ_cr = 2,999 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·50) = 4000 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 400/4000 = 0,1

Відповідь

ζ = 0,1

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 5,033 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 15 = 25 kN/m

Власна частота

ω_n = √(25000/25) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Відповідь

f_n = 5,033 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design