Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 5,5 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з 24 зубцями й модулем 2,5 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 5,5 kWn = 1450 rpmN₁ = 24m = 2,5 mm

F_t = N

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (16 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (24 зуб.). Колесо C (12 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (16 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1440 rpmA = 16B = 24C = 12D = 16

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (алюміній) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 40 mm і довжину 0,5 m; ділянка BC має діаметр 20 mm і довжину 1,2 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 100 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 100 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 20 mm, L₂ = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 75 kW при 1800 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 75 kWN = 1800 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 80 MPa і σᵧ = 30 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 135 MPa?

σ_x = 80 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 135 MPa

τ_xy = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = −20 MPa, σᵧ = −30 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 460 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σ_x = −20 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 25 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з бронза (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 110 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,4 мм.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 120 МПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 70 ГПа, допустиме напруження 80 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaтруба: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 40 mm через 2 циклів іде пік 27,4 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 40 mmx₂ = 27,4 mmn = 2

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на пружині k₃ = 15 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 50 kN/m і k₂ = 40 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 1207 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5500/151,8 = 36,22 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 2,5·24 = 60 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·36,22/0,06 = 1207 N

Відповідь

F_t = 1207 N

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 720 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 1440·16/24 = 960 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 960·12/16 = 720 rpm

Відповідь

n_out = 720 rpm

загальне передаточне відношення = 2 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 17,27 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·500/(26000·251327) = 0,007652 rad

φ_BC = 100000·1200/(26000·15708) = 0,2938 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,007652 + 0,2938 = 0,3015 rad = 17,27°

Відповідь

φ_C = 17,27°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 37 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 75000/188,5 = 397,9 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·397887/(π·40)) = 37 mm

Відповідь

d = 37 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 75,99 MPa

Потрібний радіус

C = (80 + 30)/2 = 55 MPa

R = σ₁ − C = 135 − 55 = 80 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 25²) = 75,99 MPa

Відповідь

τ_xy = 75,99 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 7,889

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = −25 MPa, R = 30,41 MPa

σ₁ = 5,414 MPa, σ₂ = −55,41 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(5,414² − 5,414·(−55,41) + (−55,41)²) = 58,31 MPa

n = 460/58,31 = 7,889

Відповідь

n = 7,889

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 43,39 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·706,9) = 5,144 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,4/9,219 × 10⁻⁶ = 43390 N = 43,39 kN

Відповідь

P = 43,39 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 319 kN

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·4006 = 5,317 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0006, 0,001143) = 0,0006 (сталь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0006·5,317 × 10⁸ = 319029 N = 319 kN

Відповідь

P_max = 319 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 46,06 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/2000² = 46058 N = 46,06 kN

Відповідь

P_cr = 46,06 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 87,73 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/5 = 150

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Відповідь

σ_cr = 87,73 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,03009

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/2)·ln(40/27,4) = 0,1892

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1892/√(39,48 + 0,03578) = 0,03009

Відповідь

ζ = 0,03009

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 8,071 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 50 + 40 = 90 kN/m

k_eq = 90·15/(90 + 15) = 12,86 kN/m

Власна частота

ω_n = √(12857/5) = 50,71 rad/s

f_n = 50,71/(2π) = 8,071 Hz

Відповідь

f_n = 8,071 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design