Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 270 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 5 mm і передаточним відношенням 3,5 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₂ має мати колесо?

a = 270 mmm = 5 mmi = 3,5

N₂ =

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (25 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 3000 rpm і приводить колесо B (50 зуб.). Колесо C (30 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (80 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 3000 rpmA = 25B = 50C = 30D = 80

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 2000 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,5 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 50 mm закріплений в A. У B, на відстані 0,5 m від A, діє обертовий момент 400 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1 m далі, діє момент 750 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 50 mmT_B = 400 N·mT_C = 750 N·mAB = 0,5 mBC = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 90 MPa і τₓᵧ = −20 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 80 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 100 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 20° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 100 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (латунь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 25 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 250 МПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 100 ГПа, допустиме напруження 50 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 15 kg на пружині жорсткістю 50 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,5. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 15 kgk = 50 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 30 kN/m, нижня — k₂ = 12 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₂ = 84

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·270/5 = 108

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 108/(1 + 3,5) = 24

N₂ = 3,5·24 = 84

Відповідь

N₂ = 84

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 562,5 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 3000·25/50 = 1500 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1500·30/80 = 562,5 rpm

Відповідь

n_out = 562,5 rpm

загальне передаточне відношення = 5,333 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 52,52 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·75·0,9375)) = 52,52 mm

d_i = 0,5·52,52 = 26,26 mm

Відповідь

d_o = 52,52 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 51,4 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 1,08 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 400 = 350 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 350000·500/(80000·613592) = 0,003565 rad

φ_BC = 750000·1000/(80000·613592) = 0,01528 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = 0,003565 + 0,01528 = 0,01884 rad → |φ_C| = 1,08°

Відповідь

φ_C = 1,08°

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 52,81 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 85 MPa, R = √((−5)² + (−20)²) = 20,62 MPa

σ₁ = 105,6 MPa, σ₂ = 64,38 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(41,23, 105,6, 64,38)/2 = 52,81 MPa

Відповідь

τ_abs = 52,81 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 126,3 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 75 + 25·0,766 + 50·0,6428 = 126,3 MPa

Відповідь

σ_θ = 126,3 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 1732 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/490,9 = 173,2 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 173,2/100000 = 0,001732 = 1732 µε

Відповідь

ε = 1732 µε

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 494,8 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·8482 = 9,896 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00125, 0,0005) = 0,0005 (латунь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0005·9,896 × 10⁸ = 494801 N = 494,8 kN

Відповідь

P_max = 494,8 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 313,9 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

Відповідь

P_cr = 313,9 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 12,34 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/5 = 400

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Відповідь

σ_cr = 12,34 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 7,958 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(50000/15) = 57,74 rad/s

f_n = 57,74/(2π) = 9,189 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 9,189·√(1 − 0,5²) = 7,958 Hz

Відповідь

f_d = 7,958 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 6,59 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/12 → k_eq = 30·12/(30 + 12) = 8,571 kN/m

Власна частота

ω_n = √(8571/5) = 41,4 rad/s

f_n = 41,4/(2π) = 6,59 Hz

Відповідь

f_n = 6,59 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design