Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 11 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 25, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 36. ККД зубчастої пари — 98 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 11 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 25N₂ = 36η = 98%

T₁ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (15 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 960 rpm і приводить колесо B (40 зубців). Колесо C (24 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 172,8 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 960 rpmA = 15B = 40C = 24n_out = 172,8 rpm

N_D =

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (латунь) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 30 mm і довжину 2 m; ділянка BC має діаметр 25 mm і довжину 3 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 100 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 100 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 2 md₂ = 25 mm, L₂ = 3 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 100 kW при 1800 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 100 kWN = 1800 rpmd_o = 80 mmd_i = 64 mm

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 50 MPa, σᵧ = 90 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 140 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 15° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 140 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 120 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 40 kNділянка 1: Ø30 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 1,5 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 55 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 55 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 8 kg на пружині жорсткістю 25 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,7. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 8 kgk = 25 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 10 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 60 kN/m, нижня — k₂ = 100 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 10 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 72,44 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/151,8 = 72,44 N·m

Відповідь

T₁ = 72,44 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 50

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 960·15/40 = 360 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 24·360/172,8 = 50

Відповідь

N_D = 50

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 15,19 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 100000·2000/(39000·79522) = 0,06449 rad

φ_BC = 100000·3000/(39000·38350) = 0,2006 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,06449 + 0,2006 = 0,2651 rad = 15,19°

Відповідь

φ_C = 15,19°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 8,938 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Полярний момент інерції

J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2,374 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 530516·40/2,374 × 10⁶ = 8,938 MPa

Відповідь

τ_max = 8,938 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 53,85 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((50 − 90)/2)² + 50²) = 53,85 MPa

Відповідь

τ_max = 53,85 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 129,6 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 100 + 40·0,866 + −10·0,5 = 129,6 MPa

Відповідь

σ_θ = 129,6 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,7255 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 120·1000/706,9 = 169,8 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 169,8/117000 = 0,001451 = 1451 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001451·500 mm = 0,7255 mm

Відповідь

δ = 0,7255 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 198,9 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 56,59 MPa

σ₂ = 198,9 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 198,9 MPa

Відповідь

σ_max = 198,9 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 24,92 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1050² = 24916 N = 24,92 kN

Відповідь

P_cr = 24,92 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 80,78 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 80,78 mm

Відповідь

d = 80,78 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 247,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 6,354 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(25000/8) = 55,9 rad/s

f_n = 55,9/(2π) = 8,897 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 8,897·√(1 − 0,7²) = 6,354 Hz

Відповідь

f_d = 6,354 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 9,746 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/100 → k_eq = 60·100/(60 + 100) = 37,5 kN/m

Власна частота

ω_n = √(37500/10) = 61,24 rad/s

f_n = 61,24/(2π) = 9,746 Hz

Відповідь

f_n = 9,746 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design