Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 2,2 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 24, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 45. ККД зубчастої пари — 95 %. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 2,2 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 24N₂ = 45η = 95%

T₂ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 160 мм при 1450 об/хв зі шківом 200 мм; центри розташовані на відстані 600 мм. Коефіцієнт тертя 0,25, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 800 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d₁ = 160 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 200 mmC = 600 mmμ = 0,25T₁ = 800 N

P = kW

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) передає 30 kW при 750 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 75 MPa, а кут закручування — 0,75° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 30 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −30 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 40 mm сприймає згинальний момент 300 N·m разом з обертовим моментом 500 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τ_max.

d = 40 mmM = 300 N·mT = 500 N·m

τ_max = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (алюміній) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 12 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 65 kNділянка 1: Ø25 mm, 2 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 2 m, алюміній (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 20 kg спирається на пружину жорсткістю 50 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 100 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 20 kgk = 50 kN/mc = 100 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 10 kN/m і k₂ = 10 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 100 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 38,98 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/100,5 = 21,88 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 21,88·45/24·0,95 = 38,98 N·m

Відповідь

T₂ = 38,98 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 5,213 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут обхвату

θ = 3,075 rad

Натяг веденої гілки

e^μθ = e^0,7687 = 2,157, T₂ = 800/2,157 = 370,9 N

Потужність

P = (800 − 370,9)·12,15 = 5,213 kW

Відповідь

P = 5,213 kW

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,7183 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·613592) = 0,01254 rad

φ = 0,01254·180/π = 0,7183°

Відповідь

φ = 0,7183°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 43,9 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 382 N·m = 381972 N·mm

d_τ = ∛(16·381972/(π·75)) = 29,6 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·381972/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 43,9 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(29,6, 43,9) = 43,9 mm

Відповідь

d = 43,9 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = 16,85 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = 60/72,11 = 0,8321, sin 2θ_s = −(−40)/72,11 = 0,5547

2θ_s = atan2(40, 60) = 33,69°

Кут на елементі

θ_s = 16,85°

перевірка: θ_s − θ_p = 16,85 − 61,85 = −45°

Відповідь

θ_s = 16,85°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 46,4 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·40³) = 47,75 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·40³) = 39,79 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 23,87 MPa

R = √(23,87² + 39,79²) = 46,4 MPa

Відповідь

τ_max = 46,4 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 8842 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 70·1000/113,1 = 618,9 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 618,9/70000 = 0,008842 = 8842 µε

Відповідь

ε = 8842 µε

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 13,02 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 132,4 MPa

σ₂ = 323,3 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 132,4·2000/70000 = 3,783 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 323,3·2000/70000 = 9,237 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 13,02 mm

Відповідь

δ = 13,02 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 2,412 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·3000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/6000² = 2412 N = 2,412 kN

Відповідь

P_cr = 2,412 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 77,11 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Відповідь

σ_cr = 77,11 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,05

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·20) = 2000 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 100/2000 = 0,05

Відповідь

ζ = 0,05

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 20 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 10 = 20 kN/m

Відповідь

k_eq = 20 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design