Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 1,5 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 20, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 40. Втратами знехтуйте. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 1,5 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 20N₂ = 40η = 100%

T₁ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 24 зубців, а кожен сателіт — 15 зубців. Водило закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 1500 rpm. Знайдіть частоту обертання n_r вінця (за модулем).

N_s = 24N_p = 15n_s = 1500 rpm

n_r = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) завдовжки 2 m передає обертовий момент 400 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 2°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 400 N·mL = 2 mG = 39 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 50 kW при 300 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −30 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 25° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = −30 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 30 mm сприймає згинальний момент 200 N·m разом з обертовим моментом 400 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τ_max.

d = 30 mmM = 200 N·mT = 400 N·m

τ_max = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з бронза (діаметр 60 мм, довжина 400 мм, E = 110 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,4 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 85 kNділянка 1: Ø30 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 1 m, мідь (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 90 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 90 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 12 kg спирається на пружину жорсткістю 100 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 1100 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 12 kgk = 100 kN/mc = 1100 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 10 kg висить на пружині k₃ = 10 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 12 kN/m і k₂ = 80 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 10 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 4,939 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/303,7 = 4,939 N·m

Відповідь

T₁ = 4,939 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_r = 666,7 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·15 = 54

Формула Вілліса за нерухомого водила

При n_c = 0 сонячне колесо приводить вінець через сателіти, які працюють як паразитні колеса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1500·24/54 = −666,7 rpm

|n_r| = 666,7 rpm

Відповідь

n_r = 666,7 rpm

Вінець обертається в протилежному до сонячного колеса напрямку.

3.Кручення валів

Відповідь: d = 49,46 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·2000/(39000·0,03491) = 587649 mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 49,46 mm

Відповідь

d = 49,46 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 54,53 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·50)) = 54,53 mm

Відповідь

d = 54,53 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 116,2 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 45 − (−75)·0,6428 − (−30)·0,766 = 116,2 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = −26,19 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 90 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 116,2 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 84,36 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·30³) = 75,45 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 37,73 MPa

R = √(37,73² + 75,45²) = 84,36 MPa

Відповідь

τ_max = 84,36 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 97,19 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·2827) = 1,286 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,4/4,116 × 10⁻⁶ = 97193 N = 97,19 kN

Відповідь

P = 97,19 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 422,8 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 120,3 MPa

σ₂ = 422,8 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 422,8 MPa

Відповідь

σ_max = 422,8 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 3,454 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/6000² = 3454 N = 3,454 kN

Відповідь

P_cr = 3,454 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 45,68 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·90000 = 270000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 45,68 mm

Відповідь

d = 45,68 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 109,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,5021

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·12) = 2191 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 1100/2191 = 0,5021

Відповідь

ζ = 0,5021

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 4,78 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 12 + 80 = 92 kN/m

k_eq = 92·10/(92 + 10) = 9,02 kN/m

Власна частота

ω_n = √(9020/10) = 30,03 rad/s

f_n = 30,03/(2π) = 4,78 Hz

Відповідь

f_n = 4,78 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design