Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 120 мм при 720 об/хв приводить шків 400 мм пасом із прослизанням 1 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 720 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 400 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (12 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 2900 rpm і приводить колесо B (15 зуб.). Колесо C (20 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (72 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 2900 rpmA = 12B = 15C = 20D = 72

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 2000 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,7 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 50 kW при 1800 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 50 kWN = 1800 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −70 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = −70 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 50 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° за годинниковою стрілкою від осі x.

σ_x = 50 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з мідь (діаметр 60 мм, довжина 200 мм, E = 120 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,5 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 120 МПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 100 ГПа, допустиме напруження 100 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 40 mm через 3 циклів іде пік 12,9 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 40 mmx₃ = 12,9 mmn = 3

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 50 kN/m, нижня — k₂ = 25 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 40 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 213,8 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

720·120/400 = 216 rpm

З прослизанням

n₂ = 216·0,99 = 213,8 rpm

Відповідь

n₂ = 213,8 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 644,4 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 2900·12/15 = 2320 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 2320·20/72 = 644,4 rpm

Відповідь

n_out = 644,4 rpm

загальне передаточне відношення = 4,5 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 60,68 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·60·0,7599)) = 60,68 mm

d_i = 0,7·60,68 = 42,47 mm

Відповідь

d_o = 60,68 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 55,37 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 30,01 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·265258/(π·50)) = 30,01 mm

Відповідь

d = 30,01 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 60,83 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((−70 − −50)/2)² + 60²) = 60,83 MPa

Відповідь

τ_max = 60,83 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 70 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 60 + −10·0 + −10·−1 = 70 MPa

Відповідь

σ_θ = 70 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 146,2 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·2827) = 5,895 × 10⁻⁷ mm/N

Навантаження

P = 0,5/3,419 × 10⁻⁶ = 146247 N = 146,2 kN

Відповідь

P = 146,2 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 334,6 kN

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·3063 = 5,576 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0006, 0,001) = 0,0006 (сталь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0006·5,576 × 10⁸ = 334580 N = 334,6 kN

Відповідь

P_max = 334,6 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 24,92 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1050² = 24916 N = 24,92 kN

Відповідь

P_cr = 24,92 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 77,11 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Відповідь

σ_cr = 77,11 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,05993

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/3)·ln(40/12,9) = 0,3772

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3772/√(39,48 + 0,1423) = 0,05993

Відповідь

ζ = 0,05993

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,249 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/25 → k_eq = 50·25/(50 + 25) = 16,67 kN/m

Власна частота

ω_n = √(16667/40) = 20,41 rad/s

f_n = 20,41/(2π) = 3,249 Hz

Відповідь

f_n = 3,249 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design