Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 0,75 kW із частотою обертання 1500 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 40, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 50. ККД зубчастої пари — 97 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 0,75 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 40N₂ = 50η = 97%

T₁ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (12 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 2880 rpm і приводить колесо B (24 зубців). Колесо C (36 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 1037 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 2880 rpmA = 12B = 24C = 36n_out = 1037 rpm

N_D =

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 1500 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,6 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 1500 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 60 mm закріплений в A. У B, на відстані 0,8 m від A, діє обертовий момент 100 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1,2 m далі, діє момент 1500 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 60 mmT_B = 100 N·mT_C = 1500 N·mAB = 0,8 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −40 MPa і σᵧ = −30 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне −20 MPa?

σ_x = −40 MPaσ_y = −30 MPaσ₁ = −20 MPa

τ_xy = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 70 MPa, σᵧ = −20 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 15° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 70 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 70 ГПа). Обидва мають довжину 400 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 250 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 250 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 250 МПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа, допустиме напруження 100 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 50 kg на пружині жорсткістю 10 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,7. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 50 kgk = 10 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на пружині k₃ = 100 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 25 kN/m і k₂ = 5 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 40 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 4,775 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/157,1 = 4,775 N·m

Відповідь

T₁ = 4,775 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 50

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 2880·12/24 = 1440 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 36·1440/1037 = 50

Відповідь

N_D = 50

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 55,99 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·50·0,8704)) = 55,99 mm

d_i = 0,6·55,99 = 33,6 mm

Відповідь

d_o = 55,99 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 53,46 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 35,37 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 100 = 1400 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 1500 N·m

τ_max = 16·1,5 × 10⁶/(π·60³) = 35,37 MPa

Відповідь

τ_max = 35,37 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 14,14 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (−40 + (−30))/2 = −35 MPa

R = σ₁ − C = −20 − (−35) = 15 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(15² − 5²) = 14,14 MPa

Відповідь

τ_xy = 14,14 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 93,97 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 25 + 45·0,866 + 60·0,5 = 93,97 MPa

Відповідь

σ_θ = 93,97 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,2811 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·3063 = 3,558 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 250000·400/3,558 × 10⁸ = 0,2811 mm

Відповідь

δ = 0,2811 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 670,9 kN

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·5890 = 8,05 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00125, 0,0008333) = 0,0008333 (мідь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0008333·8,05 × 10⁸ = 670861 N = 670,9 kN

Відповідь

P_max = 670,9 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 21,7 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2000² = 21704 N = 21,7 kN

Відповідь

P_cr = 21,7 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 26,99 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/6,25 = 160

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Відповідь

σ_cr = 26,99 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 1,607 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(10000/50) = 14,14 rad/s

f_n = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,7²) = 1,607 Hz

Відповідь

f_d = 1,607 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,823 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 25 + 5 = 30 kN/m

k_eq = 30·100/(30 + 100) = 23,08 kN/m

Власна частота

ω_n = √(23077/40) = 24,02 rad/s

f_n = 24,02/(2π) = 3,823 Hz

Відповідь

f_n = 3,823 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design