Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 100 мм при 1440 об/хв приводить шків 250 мм пасом із прослизанням 2,5 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 250 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 125 мм при 960 об/хв зі шківом 200 мм; центри розташовані на відстані 600 мм. Коефіцієнт тертя 0,25, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 500 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d₁ = 125 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 200 mmC = 600 mmμ = 0,25T₁ = 500 N

P = kW

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 750 N·md = 50 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 15 kW при 300 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,5 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 15 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = −30 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 60 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −80 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 120 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 55 kNділянка 1: Ø40 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 45 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 45 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 25 mm через 2 циклів іде пік 17,1 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 25 mmx₂ = 17,1 mmn = 2

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 10 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 25 kN/m і k₂ = 15 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 10 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 561,6 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

1440·100/250 = 576 rpm

З прослизанням

n₂ = 576·0,975 = 561,6 rpm

Відповідь

n₂ = 561,6 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 1,664 kW

Кут обхвату

θ = 3,017 rad

Натяг веденої гілки

e^μθ = e^0,7541 = 2,126, T₂ = 500/2,126 = 235,2 N

Потужність

P = (500 − 235,2)·6,283 = 1,664 kW

Відповідь

P = 1,664 kW

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 5,387 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(39000·613592) = 0,09402 rad

φ = 0,09402·180/π = 5,387°

Відповідь

φ = 5,387°

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 35,1 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·60·0,9375)) = 35,1 mm

d_i = 0,5·35,1 = 17,55 mm

Відповідь

d_o = 35,1 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 34,35 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 39,27 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 45 MPa, R = √(15² + (−30)²) = 33,54 MPa

σ₁ = 78,54 MPa, σ₂ = 11,46 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(67,08, 78,54, 11,46)/2 = 39,27 MPa

Відповідь

τ_abs = 39,27 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = −15 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 15 + −95·0 + −30·1 = −15 MPa

Відповідь

σ_θ = −15 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 13,26 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 120·1000/113,1 = 1061 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1061/200000 = 0,005305 = 5305 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,005305·2500 mm = 13,26 mm

Відповідь

δ = 13,26 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,376 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 43,77 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 43,77·1000/70000 = 0,6253 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 175,1·2000/200000 = 1,751 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,376 mm

Відповідь

δ = 2,376 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 18,36 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1400² = 18359 N = 18,36 kN

Відповідь

P_cr = 18,36 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 74,74 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·45000 = 135000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 74,74 mm

Відповідь

d = 74,74 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 149,8, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,03021

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/2)·ln(25/17,1) = 0,1899

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1899/√(39,48 + 0,03606) = 0,03021

Відповідь

ζ = 0,03021

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 40 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 25 + 15 = 40 kN/m

Відповідь

k_eq = 40 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design