Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 11 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 36, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 50. ККД зубчастої пари — 96 %. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 11 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 36N₂ = 50η = 96%

T₂ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 7,5 kW із частотою 1440 rpm приводить колесо A (32 зубців), зчеплене з колесом B (80 зубців). Колесо C (72 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (80 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 95 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 7,5 kWn_in = 1440 rpmA = 32B = 80C = 72D = 80η_mesh = 95%

T_out = N·m

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 40 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 10 kW при 300 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 10 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 140 MPa, σᵧ = 0 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 140 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 400 mm і товщиною стінки 6 mm містить газ під надлишковим тиском 1,2 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 50° до осі циліндра. Знайдіть величину дотичного напруження |τ_n|, що діє вздовж зварного шва.

D = 400 mmt = 6 mmp = 1,2 MPaα = 50°

|τ_n| = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (сталь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 85 kNділянка 1: Ø25 mm, 1,5 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 0,5 m, мідь (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 35 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 35 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 50 kg на пружині жорсткістю 25 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,35. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 50 kgk = 25 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 25 kg висить на пружині k₃ = 15 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 10 kN/m і k₂ = 100 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 97,26 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/150,8 = 72,95 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 72,95·50/36·0,96 = 97,26 N·m

Відповідь

T₂ = 97,26 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 124,7 N·m

Вихідна частота обертання

n_out = 1440·(32/80)·(72/80) = 518,4 rpm

ω_out = 2π·518,4/60 = 54,29 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 7500·0,95² = 6769 W

T_out = P_out/ω_out = 6769/54,29 = 124,7 N·m

Відповідь

T_out = 124,7 N·m

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,4384 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(26000·251327) = 0,007652 rad

φ = 0,007652·180/π = 0,4384°

Відповідь

φ = 0,4384°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 27,86 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·75)) = 27,86 mm

Відповідь

d = 27,86 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 17,77 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, 140 − 0) = 35,54°

Кут на елементі

θ_p = 17,77°

Відповідь

θ_p = 17,77°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: |τ_n| = 9,848 MPa

Напруження в стінці

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 1,2·200/6 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

|τ_n| = (40 − 20)·sin 50°·cos 50° = 9,848 MPa

Відповідь

|τ_n| = 9,848 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 1592 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 25·1000/78,54 = 318,3 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 318,3/200000 = 0,001592 = 1592 µε

Відповідь

ε = 1592 µε

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 751,6 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 173,2 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 751,6 MPa

Відповідь

σ_max = 751,6 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 8,773 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1500 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/3000² = 8773 N = 8,773 kN

Відповідь

P_cr = 8,773 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 78,48 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·35000 = 105000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 78,48 mm

Відповідь

d = 78,48 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 178,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 3,334 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(25000/50) = 22,36 rad/s

f_n = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,35²) = 3,334 Hz

Відповідь

f_d = 3,334 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,657 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 10 + 100 = 110 kN/m

k_eq = 110·15/(110 + 15) = 13,2 kN/m

Власна частота

ω_n = √(13200/25) = 22,98 rad/s

f_n = 22,98/(2π) = 3,657 Hz

Відповідь

f_n = 3,657 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design