Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 120 мм при 960 об/хв приводить шків 315 мм пасом із прослизанням 4 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 960 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 315 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 15 зубців, а кожен сателіт — 15 зубців. Водило закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 900 rpm. Знайдіть частоту обертання n_r вінця (за модулем).

N_s = 15N_p = 15n_s = 900 rpm

n_r = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 400 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 5 kW при 300 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 5 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 32 mm

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −20 MPa і σᵧ = −50 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 0 MPa?

σ_x = −20 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 0 MPa

τ_xy = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 70 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 35° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з бронза (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 110 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,3 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з латунь (діаметр 40 мм, довжина 300 мм, E = 100 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 30 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 100 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 100 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 2 kg спирається на пружину жорсткістю 4 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 50 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 2 kgk = 4 kN/mc = 50 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 60 kN/m і k₂ = 40 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 351,1 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

960·120/315 = 365,7 rpm

З прослизанням

n₂ = 365,7·0,96 = 351,1 rpm

Відповідь

n₂ = 351,1 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_r = 300 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·15 = 45

Формула Вілліса за нерухомого водила

При n_c = 0 сонячне колесо приводить вінець через сателіти, які працюють як паразитні колеса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −900·15/45 = −300 rpm

|n_r| = 300 rpm

Відповідь

n_r = 300 rpm

Вінець обертається в протилежному до сонячного колеса напрямку.

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,5603 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(80000·613592) = 0,009778 rad

φ = 0,009778·180/π = 0,5603°

Відповідь

φ = 0,5603°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 21,45 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·20/148384 = 21,45 MPa

Відповідь

τ_max = 21,45 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 31,62 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (−20 + (−50))/2 = −35 MPa

R = σ₁ − C = 0 − (−35) = 35 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 15²) = 31,62 MPa

Відповідь

τ_xy = 31,62 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = −38 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −55·0,9397 + 40·0,342 = −38 MPa

Відповідь

τ_θ = −38 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 25,39 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·706,9) = 3,858 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,3/1,182 × 10⁻⁵ = 25389 N = 25,39 kN

Відповідь

P = 25,39 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 11,23 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 100000·1257/300 = 418879 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 30000·418879/890118 = 14118 N

Напруження

σ₂ = 14118/1257 = 11,23 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 11,23 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 17,27 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/5000² = 17272 N = 17,27 kN

Відповідь

P_cr = 17,27 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 109,1 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·100000 = 300000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 109,1 mm

Відповідь

d = 109,1 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 146,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,2795

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·2) = 178,9 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 50/178,9 = 0,2795

Відповідь

ζ = 0,2795

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 100 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 40 = 100 kN/m

Відповідь

k_eq = 100 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design