Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 200 мм при 2880 об/хв приводить шків 450 мм пасом із прослизанням 3 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 450 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 16 зубців, а кожен сателіт — 24 зубців. Вінець (коронне колесо) закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 1800 rpm. Знайдіть частоту обертання n_c водила.

N_s = 16N_p = 24n_s = 1800 rpm

n_c = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 25 mm закріплений в A. У B, на відстані 2 m від A, діє обертовий момент 250 N·m, а на вільному кінці C, ще на 0,8 m далі, діє момент 500 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 25 mmT_B = 250 N·mT_C = 500 N·mAB = 2 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 80 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −30 MPa, σᵧ = 0 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 60° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 40 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з мідь (діаметр 60 мм, довжина 400 мм, E = 120 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,2 мм.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 60 мм, довжина 300 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 30 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 15 kg на пружині жорсткістю 10 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,6. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 15 kgk = 10 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на пружині k₃ = 12 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 5 kN/m і k₂ = 100 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 1242 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

2880·200/450 = 1280 rpm

З прослизанням

n₂ = 1280·0,97 = 1242 rpm

Відповідь

n₂ = 1242 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_c = 360 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·24 = 64

Формула Вілліса за нерухомого вінця

Підставте n_r = 0 і знайдіть частоту обертання водила.

(1800 − n_c)/(0 − n_c) = −64/16

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1800·16/80 = 360 rpm

Відповідь

n_c = 360 rpm

Водило обертається в тому самому напрямку, що й сонячне колесо.

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 4,597 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(39000·38350) = 0,08023 rad

φ = 0,08023·180/π = 4,597°

Відповідь

φ = 4,597°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 163 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 250 = 250 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

Відповідь

τ_max = 163 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 76,32 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((80 − −50)/2)² + −40²) = 76,32 MPa

Відповідь

τ_max = 76,32 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = 22,99 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −−15·0,866 + −20·−0,5 = 22,99 MPa

Відповідь

τ_θ = 22,99 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 56,08 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·2827) = 1,179 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,2/3,566 × 10⁻⁶ = 56081 N = 56,08 kN

Відповідь

P = 56,08 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 6,189 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 70000·2827/300 = 659734 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 30000·659734/1,131 × 10⁶ = 17500 N

Напруження

σ₂ = 17500/2827 = 6,189 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 6,189 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 158,8 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·5000 = 5000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/5000² = 158752 N = 158,8 kN

Відповідь

P_cr = 158,8 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 17,27 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/7,5 = 200

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Відповідь

σ_cr = 17,27 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 3,287 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(10000/15) = 25,82 rad/s

f_n = 25,82/(2π) = 4,109 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,109·√(1 − 0,6²) = 3,287 Hz

Відповідь

f_d = 3,287 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 7,386 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 5 + 100 = 105 kN/m

k_eq = 105·12/(105 + 12) = 10,77 kN/m

Власна частота

ω_n = √(10769/5) = 46,41 rad/s

f_n = 46,41/(2π) = 7,386 Hz

Відповідь

f_n = 7,386 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design