Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Черв’як із кількістю заходів 2 обертається з частотою 1440 rpm і приводить черв’ячне колесо з 36 зубцями. Знайдіть частоту обертання n_w колеса.

z = 2N_w = 36n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (12 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 2900 rpm і приводить колесо B (20 зуб.). Колесо C (20 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (80 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 2900 rpmA = 12B = 20C = 20D = 80

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 750 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,8 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 50 kW при 750 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 130 MPa і σᵧ = −20 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 145 MPa?

σ_x = 130 MPaσ_y = −20 MPaσ₁ = 145 MPa

τ_xy = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 40 MPa, σᵧ = 20 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 20° за годинниковою стрілкою від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 40 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 60 мм, довжина 300 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,2 мм.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з латунь (діаметр 60 мм, довжина 400 мм, E = 100 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 30 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 2 kg спирається на пружину жорсткістю 40 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 80 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 2 kgk = 40 kN/mc = 80 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 40 kN/m і k₂ = 25 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 20 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_w = 80 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання колеса

n_w = n·z/N_w = 1440·2/36 = 80 rpm

Відповідь

n_w = 80 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 435 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 2900·12/20 = 1740 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1740·20/80 = 435 rpm

Відповідь

n_out = 435 rpm

загальне передаточне відношення = 6,667 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 47,6 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·60·0,5904)) = 47,6 mm

d_i = 0,8·47,6 = 38,08 mm

Відповідь

d_o = 47,6 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 39,93 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 35,1 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·75)) = 35,1 mm

Відповідь

d = 35,1 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 49,75 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (130 + (−20))/2 = 55 MPa

R = σ₁ − C = 145 − 55 = 90 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 75²) = 49,75 MPa

Відповідь

τ_xy = 49,75 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = −8,893 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −10·−0,6428 + −20·0,766 = −8,893 MPa

Відповідь

τ_θ = −8,893 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 88,7 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·2827) = 1,061 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,2/2,255 × 10⁻⁶ = 88704 N = 88,7 kN

Відповідь

P = 88,7 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 4,856 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 100000·2827/400 = 706858 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 30000·706858/1,545 × 10⁶ = 13729 N

Напруження

σ₂ = 13729/2827 = 4,856 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 4,856 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 263,2 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/2000² = 263189 N = 263,2 kN

Відповідь

P_cr = 263,2 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 197,4 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/7,5 = 100

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Відповідь

σ_cr = 197,4 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1414

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·2) = 565,7 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 80/565,7 = 0,1414

Відповідь

ζ = 0,1414

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 65 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 25 = 65 kN/m

Відповідь

k_eq = 65 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design