Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 3 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 32, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 50. ККД зубчастої пари — 98 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 3 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 32N₂ = 50η = 98%

T₁ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (24 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 2900 rpm і приводить колесо B (48 зуб.). Колесо C (25 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (32 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 2900 rpmA = 24B = 48C = 25D = 32

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (латунь; зовнішній діаметр 75 mm, внутрішній діаметр 53 mm, довжина 0,5 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 1000 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 1000 N·md_o = 75 mmd_i = 53 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 15 kW при 1450 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −80 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = −80 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 1200 mm і товщиною стінки 10 mm містить газ під надлишковим тиском 1,2 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 50° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 1200 mmt = 10 mmp = 1,2 MPaα = 50°

σ_n = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з бронза (діаметр 60 мм, довжина 500 мм, E = 110 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,3 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 80 kNділянка 1: Ø35 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 8 kg на пружині жорсткістю 80 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,35. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 8 kgk = 80 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 12 kN/m, нижня — k₂ = 30 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 40 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 9,879 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/303,7 = 9,879 N·m

Відповідь

T₁ = 9,879 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 1133 rpm

Перший ступінь

n_B = 2900·24/48 = 1450 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1450·25/32 = 1133 rpm

Відповідь

n_out = 1133 rpm

загальне передаточне відношення = 2,56 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,315 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2,332 × 10⁶ mm⁴

Кут закручування

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·500/(39000·2,332 × 10⁶) = 0,005498 rad

φ = 0,005498·180/π = 0,315°

Відповідь

φ = 0,315°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 18,86 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·98786/(π·75)) = 18,86 mm

Відповідь

d = 18,86 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 77,62 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((−80 − 70)/2)² + 20²) = 77,62 MPa

Відповідь

τ_max = 77,62 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 50,87 MPa

Напруження в стінці

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 1,2·600/10 = 72 MPa

σ_a = pr/(2t) = 36 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 36·sin²50° + 72·cos²50° = 50,87 MPa

Відповідь

σ_n = 50,87 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 26,89 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·2827) = 1,608 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,3/1,116 × 10⁻⁵ = 26889 N = 26,89 kN

Відповідь

P = 26,89 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 11,35 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 83,15 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 83,15·1500/100000 = 1,247 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 707,4·1000/70000 = 10,11 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 11,35 mm

Відповідь

δ = 11,35 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 13,25 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2000 = 4000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4000² = 13247 N = 13,25 kN

Відповідь

P_cr = 13,25 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 8,812 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/6,25 = 280

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Відповідь

σ_cr = 8,812 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 14,91 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(80000/8) = 100 rad/s

f_n = 100/(2π) = 15,92 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 15,92·√(1 − 0,35²) = 14,91 Hz

Відповідь

f_d = 14,91 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 8,571 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/30 → k_eq = 12·30/(12 + 30) = 8,571 kN/m

Відповідь

k_eq = 8,571 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design