Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс
n1·N1 = n2·N2
Крутний момент
T2 = T1·(N2/N1)·η
Потужність
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача
загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Зі статичного прогину
ωn = √(g/δst)
Критичне демпфування
cc = 2√(km) = 2mωn
Коефіцієнт демпфування
ζ = c/cc
Частота загасаючих коливань
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно
k = k1 + k2
Пружини послідовно
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня
N1​ = 72N2​ = 80

Двигун потужністю 1,1 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 72, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 80. Втратами знехтуйте. Знайдіть вихідний крутний момент T2 на валу колеса.

P = 1,1 kWn1 = 2900 rpmN1 = 72N2 = 80η = 100%
T2 = N·m
2.Зубчасті колеса й передачіСкладна
d1​ = 80 mmd2​ = 500 mm1450 rpmC = 1200 mmT1​ = 2000 NT2​P = ?

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 80 мм при 1450 об/хв зі шківом 500 мм; центри розташовані на відстані 1200 мм. Коефіцієнт тертя 0,25, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 2000 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d1 = 80 mmn1 = 1450 rpmd2 = 500 mmC = 1200 mmμ = 0,25T1 = 2000 N
P = kW
3.Кручення валівСередня
T = 250 N·md = 40 mmL = 1,2 mφ = ?

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
Td = ?

Суцільний вал має передавати 10 kW при 750 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 10 kWN = 750 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 150σy​ = −30τxy​ = −20MPa

У точці σₓ = 150 MPa, σᵧ = −30 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θs у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σx = 150 MPaσy = −30 MPaτxy = −20 MPa
θs = °
6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 90σy​ = −70τxy​ = −10MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 90 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τθ на площадці, нормаль до якої повернута на 25° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σx = 90 MPaσy = −70 MPaτxy = −10 MPaθ = 25°
τθ = MPa
7.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 25 mmМідь1 mP = 30 kN

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 30 kNd = 25 mmL = 1 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 30 mmАлюміній1 mØ 20 mmАлюміній1 mP = 50 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σmax у стрижні.

P = 50 kNділянка 1: Ø30 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.Стійкість колонСередня
PL = 1 md = 20 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 125 kNL = 1 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 125 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 125 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm
11.Механічні коливанняСередня
k = 12 kN/mc = 110 N·s/mm = 40 kg

Маса 40 kg спирається на пружину жорсткістю 12 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 110 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 40 kgk = 12 kN/mc = 110 N·s/m
ζ =
12.Механічні коливанняСкладна
k1​ = 80k2​ = 50m = 20 kg

Маса 20 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 80 kN/m, нижня — k₂ = 50 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту fn вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk1 = 80 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T2 = 4,025 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/303,7 = 3,622 N·m

Вихідний крутний момент

T2 = 3,622·80/72·1 = 4,025 N·m

Відповідь

T2 = 4,025 N·m
2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 6,1 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут обхвату

θ = 2,79 rad

Натяг веденої гілки

eμθ = e0,6974 = 2,009, T₂ = 2000/2,009 = 995,7 N

Потужність

P = (2000 − 995,7)·6,074 = 6,1 kW

Відповідь

P = 6,1 kW
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,8549 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(80000·251327) = 0,01492 rad
φ = 0,01492·180/π = 0,8549°

Відповідь

φ = 0,8549°
4.Кручення валів

Відповідь: d = 23,49 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·127324/(π·50)) = 23,49 mm

Відповідь

d = 23,49 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θs = −51,26 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCτmax​

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θs = −20/92,2 = −0,2169, sin 2θs = −90/92,2 = −0,9762
2θs = atan2(−90, −20) = −102,5°

Кут на елементі

θs = −51,26°
перевірка: θs − θp = −51,26 − (−6,264) = −45°

Відповідь

θs = −51,26°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τθ = −67,71 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення

τθ = −80·0,766 + −10·0,6428 = −67,71 MPa

Відповідь

τθ = −67,71 MPa
7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,5224 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 30·1000/490,9 = 61,12 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 61,12/117000 = 0,0005224 = 522,4 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0005224·1000 mm = 0,5224 mm

Відповідь

δ = 0,5224 mm
8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σmax = 159,2 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 70,74 MPa
σ2 = 159,2 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σmax = 159,2 MPa

Відповідь

σmax = 159,2 MPa
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 31,64 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/700² = 31639 N = 31,64 kN

Відповідь

Pcr = 31,64 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 59,93 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2,5·125000 = 312500 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·312500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 59,93 mm

Відповідь

d = 59,93 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 133,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,07939

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

cc = 2·√(k·m) = 2·√(12000·40) = 1386 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/cc = 110/1386 = 0,07939

Відповідь

ζ = 0,07939

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: fn = 6,243 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/80 + 1/50 → keq = 80·50/(80 + 50) = 30,77 kN/m

Власна частота

ωn = √(30769/20) = 39,22 rad/s
fn = 39,22/(2π) = 6,243 Hz

Відповідь

fn = 6,243 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design