Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 125 мм при 1440 об/хв приводить шків 250 мм пасом із прослизанням 2,5 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 250 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 12 зубців, а кожен сателіт — 20 зубців. Водило закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 1500 rpm. Знайдіть частоту обертання n_r вінця (за модулем).

N_s = 12N_p = 20n_s = 1500 rpm

n_r = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 20 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 50 mm закріплений в A. У B, на відстані 2,5 m від A, діє обертовий момент 200 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1,2 m далі, діє момент 750 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 50 mmT_B = 200 N·mT_C = 750 N·mAB = 2,5 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −40 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 600 mm і товщиною стінки 10 mm містить газ під надлишковим тиском 3 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 55° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 600 mmt = 10 mmp = 3 MPaα = 55°

σ_n = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 110 ГПа). Обидва мають довжину 400 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 300 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 300 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 120 МПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа, допустиме напруження 50 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 140 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 140 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 250 kg спирається на пружину жорсткістю 150 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 3670 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 250 kgk = 150 kN/mc = 3670 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 10 kg висить на пружині k₃ = 5 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 20 kN/m і k₂ = 50 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 10 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 702 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

1440·125/250 = 720 rpm

З прослизанням

n₂ = 720·0,975 = 702 rpm

Відповідь

n₂ = 702 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_r = 346,2 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·20 = 52

Формула Вілліса за нерухомого водила

При n_c = 0 сонячне колесо приводить вінець через сателіти, які працюють як паразитні колеса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1500·12/52 = −346,2 rpm

|n_r| = 346,2 rpm

Відповідь

n_r = 346,2 rpm

Вінець обертається в протилежному до сонячного колеса напрямку.

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 18,24 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(80000·15708) = 0,3183 rad

φ = 0,3183·180/π = 18,24°

Відповідь

φ = 18,24°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 30,56 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 200 = 550 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·50³) = 30,56 MPa

Відповідь

τ_max = 30,56 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 77,62 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((−40 − 110)/2)² + 20²) = 77,62 MPa

Відповідь

τ_max = 77,62 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 59,8 MPa

Напруження в стінці

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 3·300/10 = 90 MPa

σ_a = pr/(2t) = 45 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 45·sin²55° + 90·cos²55° = 59,8 MPa

Відповідь

σ_n = 59,8 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,1026 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·9346 = 1,169 × 10⁹ N

Вкорочення

δ = 300000·400/1,169 × 10⁹ = 0,1026 mm

Відповідь

δ = 0,1026 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 572 kN

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·9346 = 1,373 × 10⁹ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0006, 0,0004167) = 0,0004167 (мідь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0004167·1,373 × 10⁹ = 572032 N = 572 kN

Відповідь

P_max = 572 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 38,59 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·3000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/6000² = 38586 N = 38,59 kN

Відповідь

P_cr = 38,59 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 111 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 111 mm

Відповідь

d = 111 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 126,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,2997

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·250) = 12247 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 3670/12247 = 0,2997

Відповідь

ζ = 0,2997

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,438 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 20 + 50 = 70 kN/m

k_eq = 70·5/(70 + 5) = 4,667 kN/m

Власна частота

ω_n = √(4667/10) = 21,6 rad/s

f_n = 21,6/(2π) = 3,438 Hz

Відповідь

f_n = 3,438 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design