Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Черв’як із кількістю заходів 4 обертається з частотою 2900 rpm і приводить черв’ячне колесо з 72 зубцями. Знайдіть частоту обертання n_w колеса.

z = 4N_w = 72n = 2900 rpm

n_w = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 16 зубців, а кожен сателіт — 30 зубців. Вінець (коронне колесо) закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 1200 rpm. Знайдіть частоту обертання n_c водила.

N_s = 16N_p = 30n_s = 1200 rpm

n_c = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) завдовжки 3 m передає обертовий момент 1500 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 1°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 1500 N·mL = 3 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 10 kW при 1800 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 10 kWN = 1800 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −70 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 60 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σ_vM.

σ_x = 60 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −20 MPa

σ_vM = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 65 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 10 kNділянка 1: Ø25 mm, 2 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 45 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 45 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 15 kg на пружині жорсткістю 25 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,3. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 15 kgk = 25 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 60 kN/m, нижня — k₂ = 25 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 50 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_w = 161,1 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання колеса

n_w = n·z/N_w = 2900·4/72 = 161,1 rpm

Відповідь

n_w = 161,1 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_c = 208,7 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·30 = 76

Формула Вілліса за нерухомого вінця

Підставте n_r = 0 і знайдіть частоту обертання водила.

(1200 − n_c)/(0 − n_c) = −76/16

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1200·16/92 = 208,7 rpm

Відповідь

n_c = 208,7 rpm

Водило обертається в тому самому напрямку, що й сонячне колесо.

3.Кручення валів

Відповідь: d = 90,59 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·3000/(39000·0,01745) = 6,611 × 10⁶ mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 90,59 mm

Відповідь

d = 90,59 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 17,55 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 10000/188,5 = 53,05 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·53052/(π·50)) = 17,55 mm

Відповідь

d = 17,55 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = 35,78 °

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = 30/94,87 = 0,3162, sin 2θ_s = −(−90)/94,87 = 0,9487

2θ_s = atan2(90, 30) = 71,57°

Кут на елементі

θ_s = 35,78°

перевірка: θ_s − θ_p = 35,78 − 80,78 = −45°

Відповідь

θ_s = 35,78°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_vM = 101,5 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 5 MPa, R = 58,52 MPa

σ₁ = 63,52 MPa, σ₂ = −53,52 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(63,52² − 63,52·(−53,52) + (−53,52)²) = 101,5 MPa

Відповідь

σ_vM = 101,5 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 6,207 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 65·1000/78,54 = 827,6 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 827,6/200000 = 0,004138 = 4138 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,004138·1500 mm = 6,207 mm

Відповідь

δ = 6,207 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,079 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 20,37 MPa

σ₂ = 49,74 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 20,37·2000/70000 = 0,5821 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 49,74·2000/200000 = 0,4974 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,079 mm

Відповідь

δ = 1,079 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 8,478 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·5000 = 5000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

Відповідь

P_cr = 8,478 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 91,54 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·45000 = 135000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 91,54 mm

Відповідь

d = 91,54 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 183,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 6,198 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(25000/15) = 40,82 rad/s

f_n = 40,82/(2π) = 6,497 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6,497·√(1 − 0,3²) = 6,198 Hz

Відповідь

f_d = 6,198 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 17,65 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/25 → k_eq = 60·25/(60 + 25) = 17,65 kN/m

Відповідь

k_eq = 17,65 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design