Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 1,5 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 25, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 50. ККД зубчастої пари — 97 %. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 1,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 25N₂ = 50η = 97%

T₂ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (12 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (25 зубців). Колесо C (45 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 648 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 1440 rpmA = 12B = 25C = 45n_out = 648 rpm

N_D =

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 30 kW при 500 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 30 kWN = 500 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 140 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 30° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 140 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −20 MPa, σᵧ = −20 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 30° за годинниковою стрілкою від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 40 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з мідь (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 120 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,2 мм.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 200 МПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 110 ГПа, допустиме напруження 60 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 5 kg на пружині жорсткістю 12 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,4. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 5 kgk = 12 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 12 kN/m, нижня — k₂ = 15 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 19,3 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/150,8 = 9,947 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 9,947·50/25·0,97 = 19,3 N·m

Відповідь

T₂ = 19,3 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 48

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 1440·12/25 = 691,2 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 45·691,2/648 = 48

Відповідь

N_D = 48

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 3,206 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(80000·251327) = 0,05595 rad

φ = 0,05595·180/π = 3,206°

Відповідь

φ = 3,206°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 26,82 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Полярний момент інерції

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 572958·25/534071 = 26,82 MPa

Відповідь

τ_max = 26,82 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = −20,98 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 50 − 90·0,5 − 30·0,866 = −20,98 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 121 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 100 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = −20,98 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = −30 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −0·−0,866 + −60·0,5 = −30 MPa

Відповідь

τ_θ = −30 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 28,16 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·706,9) = 4,716 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,2/7,103 × 10⁻⁶ = 28157 N = 28,16 kN

Відповідь

P = 28,16 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 595 kN

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·9346 = 1,091 × 10⁹ N

Визначальна деформація

ε = min(0,001, 0,0005455) = 0,0005455 (бронза)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0005455·1,091 × 10⁹ = 595046 N = 595 kN

Відповідь

P_max = 595 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 92,12 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/2000² = 92116 N = 92,12 kN

Відповідь

P_cr = 92,12 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 34,27 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Відповідь

σ_cr = 34,27 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 7,146 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(12000/5) = 48,99 rad/s

f_n = 48,99/(2π) = 7,797 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,797·√(1 − 0,4²) = 7,146 Hz

Відповідь

f_d = 7,146 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 5,812 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/15 → k_eq = 12·15/(12 + 15) = 6,667 kN/m

Власна частота

ω_n = √(6667/5) = 36,51 rad/s

f_n = 36,51/(2π) = 5,812 Hz

Відповідь

f_n = 5,812 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design