Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс
n1·N1 = n2·N2
Крутний момент
T2 = T1·(N2/N1)·η
Потужність
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача
загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Зі статичного прогину
ωn = √(g/δst)
Критичне демпфування
cc = 2√(km) = 2mωn
Коефіцієнт демпфування
ζ = c/cc
Частота загасаючих коливань
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно
k = k1 + k2
Пружини послідовно
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня
N1​ = 16N2​ = 32

Двигун потужністю 5,5 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 16, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 32. ККД зубчастої пари — 97 %. Знайдіть крутний момент T1 на валу двигуна.

P = 5,5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 16N2 = 32η = 97%
T1 = N·m
2.Зубчасті колеса й передачіСкладна
Ns​ = 18вінець нерухомийNp​ = 30nc​ = ?

У планетарній передачі сонячне колесо має 18 зубців, а кожен сателіт — 30 зубців. Вінець (коронне колесо) закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 600 rpm. Знайдіть частоту обертання nc водила.

Ns = 18Np = 30ns = 600 rpm
nc = rpm
3.Кручення валівСередня
T = 500 N·md = 25 mmL = 0,5 mφ = ?

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
do​ = ?10 kW, 1500 rpm

Порожнистий вал має передавати 10 kW при 1500 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,6 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр do.

P = 10 kWN = 1500 rpmdi/do = 0,6τallow = 40 MPa
do = mm
5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 70σy​ = 0τxy​ = 20MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 70 MPa, σᵧ = 0 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θp від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σx = 70 MPaσy = 0 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = −80σy​ = 30τxy​ = −40MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = −80 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τθ на площадці, нормаль до якої повернута на 30° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σx = −80 MPaσy = 30 MPaτxy = −40 MPaθ = 30°
τθ = MPa
7.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 16 mmСталь2 mP = 120 kN

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 120 kNd = 16 mmL = 2 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Осьове напруження й деформаціяСкладна
P = ?Ø20120 GPaØ120/60600 mm

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 250 МПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 120 ГПа, допустиме напруження 100 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження Pmax.

стрижень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.Стійкість колонСередня
PL = 6 m25 × 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 2 md = 30 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm
σcr = MPa
11.Механічні коливанняСередня
k = 80 kN/mζ = 0,4m = 150 kg

Маса 150 kg на пружині жорсткістю 80 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,4. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань fd у Hz.

m = 150 kgk = 80 kN/mζ = 0,4
fd = Hz
12.Механічні коливанняСкладна
k1​ = 30k2​ = 40k3​ = 10m = 20 kg

Маса 20 kg висить на пружині k₃ = 10 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 30 kN/m і k₂ = 40 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту fn вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk1 = 30 kN/mk2 = 40 kN/mk3 = 10 kN/m
fn = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T1 = 36,22 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/151,8 = 36,22 N·m

Відповідь

T1 = 36,22 N·m
2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: nc = 112,5 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

Nr = Ns + 2·Np = 18 + 2·30 = 78

Формула Вілліса за нерухомого вінця

Підставте nr = 0 і знайдіть частоту обертання водила.

(600 − nc)/(0 − nc) = −78/18
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 600·18/96 = 112,5 rpm

Відповідь

nc = 112,5 rpm

Водило обертається в тому самому напрямку, що й сонячне колесо.

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 9,577 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(39000·38350) = 0,1672 rad
φ = 0,1672·180/π = 9,577°

Відповідь

φ = 9,577°
4.Кручення валів

Відповідь: do = 21,04 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·40·0,8704)) = 21,04 mm
di = 0,6·21,04 = 12,62 mm

Відповідь

do = 21,04 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 20,09 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θp = 14,87 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCσ1​σ2​

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θp = atan2(2·20, 70 − 0) = 29,74°

Кут на елементі

θp = 14,87°

Відповідь

θp = 14,87°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τθ = 27,63 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення

τθ = −−55·0,866 + −40·0,5 = 27,63 MPa

Відповідь

τθ = 27,63 MPa
7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 5,968 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 120·1000/201,1 = 596,8 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 596,8/200000 = 0,002984 = 2984 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,002984·2000 mm = 5,968 mm

Відповідь

δ = 5,968 mm
8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: Pmax = 900,6 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·8482 = 1,081 × 10⁹ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00125, 0,0008333) = 0,0008333 (мідь)

Найбільше навантаження

Pmax = 0,0008333·1,081 × 10⁹ = 900590 N = 900,6 kN

Відповідь

Pmax = 900,6 kN
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 4,998 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/3000² = 4998 N = 4,998 kN

Відповідь

Pcr = 4,998 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 111 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7,5 = 133,3

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

Відповідь

σcr = 111 MPa
11.Механічні коливання

Відповідь: fd = 3,369 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ωn = √(80000/150) = 23,09 rad/s
fn = 23,09/(2π) = 3,676 Hz

Частота загасаючих коливань

fd = fn·√(1 − ζ²) = 3,676·√(1 − 0,4²) = 3,369 Hz

Відповідь

fd = 3,369 Hz
12.Механічні коливання

Відповідь: fn = 3,329 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k1 і k2. Ця пара з’єднана послідовно з k3, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k12 = 30 + 40 = 70 kN/m
keq = 70·10/(70 + 10) = 8,75 kN/m

Власна частота

ωn = √(8750/20) = 20,92 rad/s
fn = 20,92/(2π) = 3,329 Hz

Відповідь

fn = 3,329 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design