Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 15 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з 25 зубцями й модулем 5 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 15 kWn = 1450 rpmN₁ = 25m = 5 mm

F_t = N

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (15 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 3000 rpm і приводить колесо B (40 зуб.). Колесо C (25 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (50 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 3000 rpmA = 15B = 40C = 25D = 50

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 750 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 10 kW при 500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 100 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 100 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 90 MPa, σᵧ = 90 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 35° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 90 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з алюміній (діаметр 50 мм, довжина 500 мм, E = 70 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,3 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з мідь (діаметр 30 мм, довжина 200 мм, E = 120 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 40 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 5 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 5 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 20 mm через один цикл іде пік 10,6 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 20 mmx₁ = 10,6 mmn = 1

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на пружині k₃ = 5 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 40 kN/m і k₂ = 30 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 1581 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 5·25 = 125 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·98,79/0,125 = 1581 N

Відповідь

F_t = 1581 N

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 562,5 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 3000·15/40 = 1125 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1125·25/50 = 562,5 rpm

Відповідь

n_out = 562,5 rpm

загальне передаточне відношення = 5,333 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,8979 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(39000·613592) = 0,01567 rad

φ = 0,01567·180/π = 0,8979°

Відповідь

φ = 0,8979°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 23,49 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·75)) = 23,49 mm

Відповідь

d = 23,49 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 61,85 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((100 − 70)/2)² + 60²) = 61,85 MPa

Відповідь

τ_max = 61,85 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 118,2 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 90 + 0·0,342 + 30·0,9397 = 118,2 MPa

Відповідь

σ_θ = 118,2 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 35,66 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1963) = 3,638 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,3/8,412 × 10⁻⁶ = 35661 N = 35,66 kN

Відповідь

P = 35,66 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 30,87 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 120000·706,9/200 = 424115 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 40000·424115/777544 = 21818 N

Напруження

σ₂ = 21818/706,9 = 30,87 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 30,87 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 67,29 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/750² = 67288 N = 67,29 kN

Відповідь

P_cr = 67,29 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 33,53 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·5000 = 10000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 33,53 mm

Відповідь

d = 33,53 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 417,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1005

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/1)·ln(20/10,6) = 0,6349

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6349/√(39,48 + 0,4031) = 0,1005

Відповідь

ζ = 0,1005

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 4,862 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 40 + 30 = 70 kN/m

k_eq = 70·5/(70 + 5) = 4,667 kN/m

Власна частота

ω_n = √(4667/5) = 30,55 rad/s

f_n = 30,55/(2π) = 4,862 Hz

Відповідь

f_n = 4,862 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design