Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс
n1·N1 = n2·N2
Крутний момент
T2 = T1·(N2/N1)·η
Потужність
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача
загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Зі статичного прогину
ωn = √(g/δst)
Критичне демпфування
cc = 2√(km) = 2mωn
Коефіцієнт демпфування
ζ = c/cc
Частота загасаючих коливань
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно
k = k1 + k2
Пружини послідовно
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня
d1​ = 150 mmd2​ = 315 mm720 rpmT1​ = 1500 NT2​ = 300 NP = ?

Пас іде на ведучому шківі 150 мм при 720 об/хв. Натяг становить 1500 Н на ведучій гілці та 300 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d1 = 150 mmn1 = 720 rpmT1 = 1500 NT2 = 300 N
P = kW
2.Зубчасті колеса й передачіСкладна
d1​ = 100 mmd2​ = 500 mm1450 rpmC = 500 mmθ = ?

Відкритий пас з’єднує шків 100 мм і шків 500 мм, центри яких розташовані на відстані 500 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d1 = 100 mmd2 = 500 mmC = 500 mm
θ = °
3.Кручення валівСередня
d1​ = 60 mmd2​ = 40 mmT = 250 N·mABC1 m2,5 m

Ступінчастий суцільний вал (сталь) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 60 mm і довжину 1 m; ділянка BC має діаметр 40 mm і довжину 2,5 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 250 N·m. Знайдіть кут закручування φC кінця C у градусах.

T = 250 N·md1 = 60 mm, L1 = 1 md2 = 40 mm, L2 = 2,5 mG = 80 GPa
φC = °
4.Кручення валівСкладна
d = 30 mmT0​ = 1000 N·mACBa = 1 mb = 1,5 m

Суцільний вал (алюміній) діаметром 30 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 1 m від A і 1,5 m від B, прикладено обертовий момент 1000 N·m. Знайдіть реактивний момент TA у стіні A.

d = 30 mmT0 = 1000 N·ma = 1 mb = 1,5 m
TA = N·m
5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = −40σy​ = 60τxy​ = −30MPa

У точці σₓ = −40 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 40° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σy′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σx = −40 MPaσy = 60 MPaτxy = −30 MPaθ = 40°
σy′ = MPa
6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 90σy​ = −50τxy​ = −40MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 90 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σθ на площадці, нормаль до якої повернута на 50° проти годинникової стрілки від осі x.

σx = 90 MPaσy = −50 MPaτxy = −40 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 12 mmМідь0,5 mP = 60 kN

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 60 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 30 mmМідь0,5 mØ 16 mmЛатунь0,5 mP = 70 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 70 kNділянка 1: Ø30 mm, 0,5 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)
δ = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 2,5 m25 × 100 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 5 md = 60 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm
σcr = MPa
11.Механічні коливанняСередня
k = 4 kN/mc = 320 N·s/mm = 25 kg

Маса 25 kg спирається на пружину жорсткістю 4 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 320 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 25 kgk = 4 kN/mc = 320 N·s/m
ζ =
12.Механічні коливанняСкладна
k1​ = 12k2​ = 25m = 40 kg

Маса 40 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 12 kN/m, нижня — k₂ = 25 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість keq системи пружин у kN/m.

m = 40 kgk1 = 12 kN/mk2 = 25 kN/m
keq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 6,786 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 5,655 m/s

Потужність

P = (1500 − 300)·5,655 = 6786 W = 6,786 kW

Відповідь

P = 6,786 kW
2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 132,8 °

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут паса

asin(0,4) = 23,58°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·23,58 = 132,8°

Відповідь

θ = 132,8°
3.Кручення валів

Відповідь: φC = 1,922 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J1 = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 250 N·m = 250000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 250000·1000/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,002456 rad
φBC = 250000·2500/(80000·251327) = 0,03108 rad

Повний кут закручування

φC = 0,002456 + 0,03108 = 0,03354 rad = 1,922°

Відповідь

φC = 1,922°
4.Кручення валів

Відповідь: TA = 600 N·m

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише TA + TB = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

TA + TB = 1000
TA·a = TB·b
TA = 1000·1,5/2,5 = 600 N·m
TB = 1000·1/2,5 = 400 N·m

Відповідь

TA = 600 N·m
5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σy′ = 48,23 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σy′ = 10 − (−50)·0,1736 − (−30)·0,9848 = 48,23 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σx′ = −28,23 MPa, σx′ + σy′ = 20 = σx + σy

Відповідь

σy′ = 48,23 MPa
6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σθ = −31,55 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення

σθ = 20 + 70·−0,1736 + −40·0,9848 = −31,55 MPa

Відповідь

σθ = −31,55 MPa
7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,267 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 60·1000/113,1 = 530,5 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 530,5/117000 = 0,004534 = 4534 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,004534·500 mm = 2,267 mm

Відповідь

δ = 2,267 mm
8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,164 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 99,03 MPa
σ2 = 348,2 MPa

Додайте видовження ділянок

δ1 = σ1L1/E1 = 99,03·500/117000 = 0,4232 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 348,2·500/100000 = 1,741 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,164 mm

Відповідь

δ = 2,164 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 41,12 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/2500² = 41123 N = 41,12 kN

Відповідь

Pcr = 41,12 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 71,06 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/15 = 166,7

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/166,7² = 71,06 MPa

Відповідь

σcr = 71,06 MPa
11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,506

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

cc = 2·√(k·m) = 2·√(4000·25) = 632,5 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/cc = 320/632,5 = 0,506

Відповідь

ζ = 0,506

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: keq = 8,108 kN/m

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/12 + 1/25 → keq = 12·25/(12 + 25) = 8,108 kN/m

Відповідь

keq = 8,108 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design