Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 2,2 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з 16 зубцями й модулем 3 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 2,2 kWn = 960 rpmN₁ = 16m = 3 mm

F_t = N

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (30 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1500 rpm і приводить колесо B (50 зуб.). Колесо C (24 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (45 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1500 rpmA = 30B = 50C = 24D = 45

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 400 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 15 kW при 1500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 15 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −40 MPa, σᵧ = 0 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 50° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = −40 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 140 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 20° за годинниковою стрілкою від осі x.

σ_x = 140 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 70 ГПа). Обидва мають довжину 500 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 100 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 100 kNстрижень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 40 kNділянка 1: Ø35 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 0,5 m, алюміній (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 8 kg спирається на пружину жорсткістю 8 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 150 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 8 kgk = 8 kN/mc = 150 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на пружині k₃ = 10 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 100 kN/m і k₂ = 20 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 911,8 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 2200/100,5 = 21,88 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 3·16 = 48 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·21,88/0,048 = 911,8 N

Відповідь

F_t = 911,8 N

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 480 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 1500·30/50 = 900 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 900·24/45 = 480 rpm

Відповідь

n_out = 480 rpm

загальне передаточне відношення = 3,125 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,3735 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(80000·613592) = 0,006519 rad

φ = 0,006519·180/π = 0,3735°

Відповідь

φ = 0,3735°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 18,65 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·75)) = 18,65 mm

Відповідь

d = 18,65 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = −53,02 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = −20 − (−20)·(−0,1736) − 30·0,9848 = −53,02 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 13,02 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −40 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = −53,02 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 104,4 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 125 + 15·0,766 + 50·−0,6428 = 104,4 MPa

Відповідь

σ_θ = 104,4 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,16 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·3063 = 3,126 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 100000·500/3,126 × 10⁸ = 0,16 mm

Відповідь

δ = 0,16 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 3,237 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 41,58 MPa

σ₂ = 353,7 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 41,58·2000/117000 = 0,7107 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 353,7·500/70000 = 2,526 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,237 mm

Відповідь

δ = 3,237 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 151,4 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151,4 kN

Відповідь

P_cr = 151,4 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 1,919 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1,919 MPa

Відповідь

σ_cr = 1,919 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,2965

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·8) = 506 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 150/506 = 0,2965

Відповідь

ζ = 0,2965

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 2,162 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 100 + 20 = 120 kN/m

k_eq = 120·10/(120 + 10) = 9,231 kN/m

Власна частота

ω_n = √(9231/50) = 13,59 rad/s

f_n = 13,59/(2π) = 2,162 Hz

Відповідь

f_n = 2,162 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design