Зубчасті колеса й передачі
- Зачеплення коліс
- n1·N1 = n2·N2
- Крутний момент
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Потужність
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Багатоступенева передача
- загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів
Деталі машин: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Кручення валів
- Дотичне напруження
- τ = T·r/J
- Суцільний вал
- J = πd⁴/32
- Порожнистий вал
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Кут закручування
- φ = TL/(GJ)
- Потужність
- P = T·ω = 2πnT/60
Метод
- Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
- Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
- Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
- Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.
Коло Мора й перетворення напружень
- Центр
- C = (σx + σy)/2
- Радіус
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Головні напруження
- σ1,2 = C ± R
- Головний напрямок
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Похила площадка
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Метод
- Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
- Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
- Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Осьове напруження й деформація
- Нормальне напруження
- σ = F/A
- Деформація
- ε = ΔL/L
- Закон Гука
- σ = E·ε
- Видовження
- ΔL = FL/(EA)
- Температурна деформація
- εT = α·ΔT
Стійкість колон
- Критична сила Ейлера
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Коефіцієнт розрахункової довжини
- K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
- Критичне напруження
- σcr = Pcr/A
- Гнучкість
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Механічні коливання
- Власна частота
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Зі статичного прогину
- ωn = √(g/δst)
- Критичне демпфування
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Коефіцієнт демпфування
- ζ = c/cc
- Частота загасаючих коливань
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Логарифмічний декремент
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Пружини паралельно
- k = k1 + k2
- Пружини послідовно
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Задачі для практики
1.Зубчасті колеса й передачіСередня
Двигун потужністю 4 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 40, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 48. ККД зубчастої пари — 96 %. Знайдіть вихідний крутний момент T2 на валу колеса.
P = 4 kWn1 = 2900 rpmN1 = 40N2 = 48η = 96%
T2 = N·m
2.Зубчасті колеса й передачіСкладна
У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (40 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 960 rpm і приводить колесо B (72 зуб.). Колесо C (36 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (50 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання nout.
nin = 960 rpmA = 40B = 72C = 36D = 50
nout = rpm
3.Кручення валівСередня
Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.
T = 750 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
Суцільний вал має передавати 75 kW при 1500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.
P = 75 kWN = 1500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
У точці навантаженої деталі σₓ = −40 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τmax.
σx = −40 MPaσy = 30 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
У точці навантаженої деталі σₓ = −10 MPa, σᵧ = −80 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τθ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).
σx = −10 MPaσy = −80 MPaτxy = −50 MPaθ = 45°
τθ = MPa
7.Осьове напруження й деформаціяСередня
Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (латунь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).
P = 55 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з мідь (діаметр 50 мм, довжина 200 мм, E = 120 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 100 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ2 в ділянці 2.
ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.Стійкість колонСередня
Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.
L = 2 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 15 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.
P = 15 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm
11.Механічні коливанняСередня
Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 50 mm через 4 циклів іде пік 1,1 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
x0 = 50 mmx4 = 1,1 mmn = 4
ζ =
12.Механічні коливанняСкладна
Маса 25 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 50 kN/m і k₂ = 15 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість keq системи пружин у kN/m.
m = 25 kgk1 = 50 kN/mk2 = 15 kN/m
keq = kN/m
3Розчини
1.Зубчасті колеса й передачі
Відповідь: T2 = 15,17 N·m
Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.
Момент двигуна
ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/303,7 = 13,17 N·m
Вихідний крутний момент
T2 = 13,17·48/40·0,96 = 15,17 N·m
Відповідь
T2 = 15,17 N·m
2.Зубчасті колеса й передачі
Відповідь: nout = 384 rpm
Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.
Перший ступінь
nB = 960·40/72 = 533,3 rpm = nC
Другий ступінь
nout = 533,3·36/50 = 384 rpm
Відповідь
nout = 384 rpm
загальне передаточне відношення = 2,5 : 1
3.Кручення валів
Відповідь: φ = 6,734 °
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.
Полярний момент інерції
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Кут закручування
φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(26000·613592) = 0,1175 rad
φ = 0,1175·180/π = 6,734°
Відповідь
φ = 6,734°
4.Кручення валів
Відповідь: d = 39,32 mm
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.
Крутний момент
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m
Діаметр за допустимим напруженням
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·477465/(π·40)) = 39,32 mm
Відповідь
d = 39,32 mm
На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.
5.Коло Мора й перетворення напружень
Відповідь: τmax = 69,46 MPa
Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.
Радіус кола Мора
τmax = R = √(((−40 − 30)/2)² + 60²) = 69,46 MPa
Відповідь
τmax = 69,46 MPa
6.Коло Мора й перетворення напружень
Відповідь: τθ = −35 MPa
Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.
Формула перетворення
τθ = −35·1 + −50·0 = −35 MPa
Відповідь
τθ = −35 MPa
7.Осьове напруження й деформація
Відповідь: ε = 2735 µε
Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).
Напруження
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 55·1000/201,1 = 273,5 MPa
Деформація (закон Гука)
E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 273,5/100000 = 0,002735 = 2735 µε
Відповідь
ε = 2735 µε
8.Осьове напруження й деформація
Відповідь: σ2 = 39,18 MPa
Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.
Жорсткості
k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 120000·1963/200 = 1,178 × 10⁶ N/mm
Частка ділянки 2
F2 = 100000·1,178 × 10⁶/1,532 × 10⁶ = 76923 N
Напруження
σ2 = 76923/1963 = 39,18 MPa (стиск)
Відповідь
σ2 = 39,18 MPa
9.Стійкість колон
Відповідь: Pcr = 411,2 kN
Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.
Найменший момент інерції
Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
Розрахункова довжина
KL = 1·2000 = 2000 mm
Критична сила
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/2000² = 411234 N = 411,2 kN
Відповідь
Pcr = 411,2 kN
10.Стійкість колон
Відповідь: d = 25,56 mm
Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.
Потрібна критична сила
Pcr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
Виразіть діаметр
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 25,56 mm
Відповідь
d = 25,56 mm
Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 164,3, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.
11.Механічні коливання
Відповідь: ζ = 0,1501
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Логарифмічний декремент
δ = (1/4)·ln(50/1,1) = 0,9542
Коефіцієнт демпфування
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9542/√(39,48 + 0,9105) = 0,1501
Відповідь
ζ = 0,1501
12.Механічні коливання
Відповідь: keq = 65 kN/m
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Еквівалентна жорсткість
Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k1 + k2.
keq = 50 + 15 = 65 kN/m
Відповідь
keq = 65 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design