Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 1,5 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з 30 зубцями й модулем 5 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 1,5 kWn = 960 rpmN₁ = 30m = 5 mm

F_t = N

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (20 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (36 зуб.). Колесо C (32 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (48 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1440 rpmA = 20B = 36C = 32D = 48

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (сталь; зовнішній діаметр 80 mm, внутрішній діаметр 48 mm, довжина 2 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 1000 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 1000 N·md_o = 80 mmd_i = 48 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 5 kW при 3000 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,75 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 5 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 150 MPa, σᵧ = −60 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 20° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 150 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 160 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 60° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 160 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 25 kNd = 16 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 45 kNділянка 1: Ø30 mm, 1,5 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 50 mm через один цикл іде пік 44,1 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 50 mmx₁ = 44,1 mmn = 1

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 12 kN/m і k₂ = 25 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 40 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 198,9 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 1500/100,5 = 14,92 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 5·30 = 150 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·14,92/0,15 = 198,9 N

Відповідь

F_t = 198,9 N

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 533,3 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 1440·20/36 = 800 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 800·32/48 = 533,3 rpm

Відповідь

n_out = 533,3 rpm

загальне передаточне відношення = 2,7 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,4092 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3,5 × 10⁶ mm⁴

Кут закручування

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·2000/(80000·3,5 × 10⁶) = 0,007143 rad

φ = 0,007143·180/π = 0,4092°

Відповідь

φ = 0,4092°

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 11,4 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 5000/314,2 = 15,92 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 15,92 N·m = 15915 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·15915/(π·80·0,6836)) = 11,4 mm

d_i = 0,75·11,4 = 8,551 mm

Відповідь

d_o = 11,4 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 10,04 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = −74 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 45 − 105·0,766 − 60·0,6428 = −74 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 164 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 90 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = −74 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 30,18 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 85 + 75·−0,5 + −20·0,866 = 30,18 MPa

Відповідь

σ_θ = 30,18 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 3,73 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 25·1000/201,1 = 124,3 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 124,3/100000 = 0,001243 = 1243 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001243·3000 mm = 3,73 mm

Відповідь

δ = 3,73 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,08 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 143,2 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·1500/70000 = 1,364 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 143,2·1000/200000 = 0,7162 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,08 mm

Відповідь

δ = 2,08 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 222,3 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2500² = 222253 N = 222,3 kN

Відповідь

P_cr = 222,3 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 17,48 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/12,5 = 336

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/336² = 17,48 MPa

Відповідь

σ_cr = 17,48 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,01998

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/1)·ln(50/44,1) = 0,1256

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1256/√(39,48 + 0,01577) = 0,01998

Відповідь

ζ = 0,01998

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 4,841 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 25 = 37 kN/m

Власна частота

ω_n = √(37000/40) = 30,41 rad/s

f_n = 30,41/(2π) = 4,841 Hz

Відповідь

f_n = 4,841 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design