Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 1,5 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 20, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 25. ККД зубчастої пари — 96 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 1,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 20N₂ = 25η = 96%

T₁ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (15 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 1450 rpm і приводить колесо B (20 зубців). Колесо C (20 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 725 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 1450 rpmA = 15B = 20C = 20n_out = 725 rpm

N_D =

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 750 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) діаметром 30 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 0,8 m від A і 2 m від B, прикладено обертовий момент 1000 N·m. Знайдіть кут повороту φ_C перерізу C у градусах.

d = 30 mmT₀ = 1000 N·ma = 0,8 mb = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 120 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −80 MPa, σᵧ = 0 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 40° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 105 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 50 kNділянка 1: Ø35 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 140 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 140 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 25 mm через 3 циклів іде пік 9,7 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 25 mmx₃ = 9,7 mmn = 3

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 20 kN/m і k₂ = 60 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 20 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 9,947 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/150,8 = 9,947 N·m

Відповідь

T₁ = 9,947 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 30

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 1450·15/20 = 1088 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 20·1088/725 = 30

Відповідь

N_D = 30

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 16,63 °

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(26000·79522) = 0,2902 rad

φ = 0,2902·180/π = 16,63°

Відповідь

φ = 16,63°

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 10,56 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише T_A + T_B = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·2/2,8 = 714,3 N·m

T_B = 1000·0,8/2,8 = 285,7 N·m

Кут повороту C

Використайте ділянку AC: вона закріплена в A і передає T_A.

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 714286·800/(39000·79522) = 0,1843 rad = 10,56°

Відповідь

φ_C = 10,56°

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 50,25 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((120 − 110)/2)² + 50²) = 50,25 MPa

Відповідь

τ_max = 50,25 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = −7,554 MPa

Формула перетворення

σ_θ = −40 + −40·0,1736 + 40·0,9848 = −7,554 MPa

Відповідь

σ_θ = −7,554 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 3,73 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 105·1000/201,1 = 522,2 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 522,2/70000 = 0,00746 = 7460 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,00746·500 mm = 3,73 mm

Відповідь

δ = 3,73 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,835 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 51,97 MPa

σ₂ = 159,2 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 51,97·2000/100000 = 1,039 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 159,2·500/100000 = 0,7958 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,835 mm

Відповідь

δ = 1,835 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 992,2 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992,2 kN

Відповідь

P_cr = 992,2 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 101 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 101 mm

Відповідь

d = 101 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 237,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,05016

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/3)·ln(25/9,7) = 0,3156

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3156/√(39,48 + 0,09959) = 0,05016

Відповідь

ζ = 0,05016

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 80 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 60 = 80 kN/m

Відповідь

k_eq = 80 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design