Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 150 мм при 1440 об/хв. Натяг становить 600 Н на ведучій гілці та 180 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 600 NT₂ = 180 N

P = kW

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує шків 125 мм і шків 200 мм, центри яких розташовані на відстані 600 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d₁ = 125 mmd₂ = 200 mmC = 600 mm

θ = °

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 5 kW при 3000 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 5 kWN = 3000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 120 MPa, σᵧ = −60 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 70 MPa, σᵧ = 90 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 75 kNd = 20 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 20 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 60 мм, довжина 300 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 80 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 50 kg на пружині жорсткістю 5 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,6. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 50 kgk = 5 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 5 kN/m і k₂ = 25 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 100 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 4,75 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 11,31 m/s

Потужність

P = (600 − 180)·11,31 = 4750 W = 4,75 kW

Відповідь

P = 4,75 kW

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 172,8 °

Кут паса

asin(0,0625) = 3,583°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·3,583 = 172,8°

Відповідь

θ = 172,8°

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 6,928 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(39000·79522) = 0,1209 rad

φ = 0,1209·180/π = 6,928°

Відповідь

φ = 6,928°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 10,04 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 5000/314,2 = 15,92 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·15915/(π·80)) = 10,04 mm

Відповідь

d = 10,04 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 103 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((120 − −60)/2)² + −50²) = 103 MPa

Відповідь

τ_max = 103 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = 10 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −−10·1 + 10·0 = 10 MPa

Відповідь

τ_θ = 10 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,387 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 75·1000/314,2 = 238,7 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 238,7/200000 = 0,001194 = 1194 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001194·2000 mm = 2,387 mm

Відповідь

δ = 2,387 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 25,24 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 110000·2827/300 = 1,037 × 10⁶ N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 80000·1,037 × 10⁶/1,162 × 10⁶ = 71351 N

Напруження

σ₂ = 71351/2827 = 25,24 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 25,24 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 32,13 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/2000² = 32128 N = 32,13 kN

Відповідь

P_cr = 32,13 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 69,09 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Відповідь

σ_cr = 69,09 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 1,273 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(5000/50) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,6²) = 1,273 Hz

Відповідь

f_d = 1,273 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 2,757 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 25 = 30 kN/m

Власна частота

ω_n = √(30000/100) = 17,32 rad/s

f_n = 17,32/(2π) = 2,757 Hz

Відповідь

f_n = 2,757 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design