Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 1,5 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 16, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 25. ККД зубчастої пари — 98 %. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 1,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 16N₂ = 25η = 98%

T₂ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (40 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 960 rpm і приводить колесо B (50 зуб.). Колесо C (24 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (50 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 960 rpmA = 40B = 50C = 24D = 50

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (латунь; зовнішній діаметр 40 mm, внутрішній діаметр 24 mm, довжина 3 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 250 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 250 N·md_o = 40 mmd_i = 24 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 15 kW при 1000 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 15 kWN = 1000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 90 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 90 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 10 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 15° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (алюміній) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 30 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 60 мм, довжина 500 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 100 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 25 kg спирається на пружину жорсткістю 20 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 110 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 25 kgk = 20 kN/mc = 110 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 12 kN/m і k₂ = 25 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 15,23 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/150,8 = 9,947 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 9,947·25/16·0,98 = 15,23 N·m

Відповідь

T₂ = 15,23 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 368,6 rpm

Перший ступінь

n_B = 960·40/50 = 768 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 768·24/50 = 368,6 rpm

Відповідь

n_out = 368,6 rpm

загальне передаточне відношення = 2,604 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 5,037 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Кут закручування

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·3000/(39000·218755) = 0,08791 rad

φ = 0,08791·180/π = 5,037°

Відповідь

φ = 5,037°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 26,32 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·143239/(π·40)) = 26,32 mm

Відповідь

d = 26,32 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 31,72 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 90 − 60) = 63,43°

Кут на елементі

θ_p = 31,72°

Відповідь

θ_p = 31,72°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = 1,34 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −−20·0,5 + −10·0,866 = 1,34 MPa

Відповідь

τ_θ = 1,34 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 1415 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 70·1000/706,9 = 99,03 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 99,03/70000 = 0,001415 = 1415 µε

Відповідь

ε = 1415 µε

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 15,58 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 70000·2827/500 = 395841 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 100000·395841/898495 = 44056 N

Напруження

σ₂ = 44056/2827 = 15,58 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 15,58 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 9,646 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9,646 kN

Відповідь

P_cr = 9,646 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 31,58 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Відповідь

σ_cr = 31,58 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,07778

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·25) = 1414 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 110/1414 = 0,07778

Відповідь

ζ = 0,07778

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 4,329 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 25 = 37 kN/m

Власна частота

ω_n = √(37000/50) = 27,2 rad/s

f_n = 27,2/(2π) = 4,329 Hz

Відповідь

f_n = 4,329 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design