Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 3 kW із частотою обертання 1500 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 18, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 48. Втратами знехтуйте. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 3 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 18N₂ = 48η = 100%

T₂ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (36 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (50 зубців). Колесо C (24 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 777,6 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 1440 rpmA = 36B = 50C = 24n_out = 777,6 rpm

N_D =

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 12 mm закручують моментом 20 N·m. Два кінці розрахункової довжини 300 mm повертаються один відносно одного на 4,33° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 20 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 4,33°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 20 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 0,8 m від A і 1,5 m від B, прикладено обертовий момент 250 N·m. Знайдіть кут повороту φ_C перерізу C у градусах.

d = 20 mmT₀ = 250 N·ma = 0,8 mb = 1,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 160 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 160 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 30 mm сприймає осьову розтягувальну силу 80 kN разом з обертовим моментом 500 N·m. На поверхні вала знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τ_max.

d = 30 mmF = 80 kNT = 500 N·m

τ_max = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 115 kNd = 12 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 120 МПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа, допустиме напруження 50 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 95 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 95 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 150 kg на пружині жорсткістю 40 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,4. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 150 kgk = 40 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 25 kg висить на пружині k₃ = 30 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 40 kN/m і k₂ = 100 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 50,93 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/157,1 = 19,1 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 19,1·48/18·1 = 50,93 N·m

Відповідь

T₂ = 50,93 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 32

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 1440·36/50 = 1037 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 24·1037/777,6 = 32

Відповідь

N_D = 32

3.Кручення валів

Відповідь: G = 39 GPa

Полярний момент інерції й кут

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 4,33·π/180 = 0,07557 rad

Модуль зсуву

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·300/(2036·0,07557) = 39000 MPa

G = 39 GPa

Відповідь

G = 39 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 5,947 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише T_A + T_B = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·1,5/2,3 = 163 N·m

T_B = 250·0,8/2,3 = 86,96 N·m

Кут повороту C

Використайте ділянку AC: вона закріплена в A і передає T_A.

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 163043·800/(80000·15708) = 0,1038 rad = 5,947°

Відповідь

φ_C = 5,947°

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 15,8 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, 160 − 30) = 31,61°

Кут на елементі

θ_p = 15,8°

Відповідь

θ_p = 15,8°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 110 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = 80000/(π·30²/4) = 80000/706,9 = 113,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 56,59 MPa

R = √(56,59² + 94,31²) = 110 MPa

Відповідь

τ_max = 110 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 8,691 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/113,1 = 1017 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1017/117000 = 0,008691 = 8691 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,008691·1000 mm = 8,691 mm

Відповідь

δ = 8,691 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 194,1 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·3063 = 4,657 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0006, 0,0004167) = 0,0004167 (мідь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0004167·4,657 × 10⁸ = 194059 N = 194,1 kN

Відповідь

P_max = 194,1 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 28,79 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/1250² = 28786 N = 28,79 kN

Відповідь

P_cr = 28,79 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 44,24 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·95000 = 237500 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 44,24 mm

Відповідь

d = 44,24 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 113, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 2,382 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(40000/150) = 16,33 rad/s

f_n = 16,33/(2π) = 2,599 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,599·√(1 − 0,4²) = 2,382 Hz

Відповідь

f_d = 2,382 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 5,003 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 40 + 100 = 140 kN/m

k_eq = 140·30/(140 + 30) = 24,71 kN/m

Власна частота

ω_n = √(24706/25) = 31,44 rad/s

f_n = 31,44/(2π) = 5,003 Hz

Відповідь

f_n = 5,003 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design