Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 4 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 36, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 60. ККД зубчастої пари — 97 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 4 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 36N₂ = 60η = 97%

T₁ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує шків 125 мм і шків 200 мм, центри яких розташовані на відстані 1000 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d₁ = 125 mmd₂ = 200 mmC = 1000 mm

θ = °

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 100 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,75 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 100 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 30 mm закріплений в A. У B, на відстані 1 m від A, діє обертовий момент 750 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1,5 m далі, діє момент 500 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 30 mmT_B = 750 N·mT_C = 500 N·mAB = 1 mBC = 1,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 90 MPa і σᵧ = 100 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 155 MPa?

σ_x = 90 MPaσ_y = 100 MPaσ₁ = 155 MPa

τ_xy = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 150 MPa, σᵧ = −80 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 25° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з мідь (діаметр 40 мм, довжина 500 мм, E = 120 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,25 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 115 kNділянка 1: Ø25 mm, 2 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1 m, мідь (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 105 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 105 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 250 kg на пружині жорсткістю 40 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,4. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 250 kgk = 40 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 5 kN/m, нижня — k₂ = 100 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 26,53 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/150,8 = 26,53 N·m

Відповідь

T₁ = 26,53 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 175,7 °

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут паса

asin(0,0375) = 2,149°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·2,149 = 175,7°

Відповідь

θ = 175,7°

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 26,51 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·40·0,6836)) = 26,51 mm

d_i = 0,75·26,51 = 19,88 mm

Відповідь

d_o = 26,51 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 23,35 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 18,01 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 750 = 1250 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1,25 × 10⁶·1000/(80000·79522) = 0,1965 rad

φ_BC = 500000·1500/(80000·79522) = 0,1179 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = 0,1965 + 0,1179 = 0,3144 rad → |φ_C| = 18,01°

Відповідь

φ_C = 18,01°

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 59,79 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (90 + 100)/2 = 95 MPa

R = σ₁ − C = 155 − 95 = 60 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 5²) = 59,79 MPa

Відповідь

τ_xy = 59,79 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = −75,24 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −115·0,766 + 20·0,6428 = −75,24 MPa

Відповідь

τ_θ = −75,24 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 30,9 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1257) = 3,316 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,25/8,09 × 10⁻⁶ = 30901 N = 30,9 kN

Відповідь

P = 30,9 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 1017 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 234,3 MPa

σ₂ = 1017 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 1017 MPa

Відповідь

σ_max = 1017 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 14,5 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/3500² = 14502 N = 14,5 kN

Відповідь

P_cr = 14,5 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 85,8 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 85,8 mm

Відповідь

d = 85,8 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 233,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 1,845 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(40000/250) = 12,65 rad/s

f_n = 12,65/(2π) = 2,013 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,013·√(1 − 0,4²) = 1,845 Hz

Відповідь

f_d = 1,845 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 4,912 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/100 → k_eq = 5·100/(5 + 100) = 4,762 kN/m

Власна частота

ω_n = √(4762/5) = 30,86 rad/s

f_n = 30,86/(2π) = 4,912 Hz

Відповідь

f_n = 4,912 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design