Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 80 мм при 1500 об/хв. Натяг становить 800 Н на ведучій гілці та 400 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 80 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 800 NT₂ = 400 N

P = kW

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (12 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 960 rpm і приводить колесо B (32 зуб.). Колесо C (12 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (60 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 960 rpmA = 12B = 32C = 12D = 60

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) передає 15 kW при 500 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 80 MPa, а кут закручування — 1° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 20 MPa, σᵧ = −20 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 20 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 1500 mm і товщиною стінки 6 mm містить газ під надлишковим тиском 2 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 20° до осі циліндра. Знайдіть величину дотичного напруження |τ_n|, що діє вздовж зварного шва.

D = 1500 mmt = 6 mmp = 2 MPaα = 20°

|τ_n| = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 115 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 250 МПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 110 ГПа, допустиме напруження 70 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 75 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 75 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 80 kg спирається на пружину жорсткістю 25 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 140 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 80 kgk = 25 kN/mc = 140 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 10 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 5 kN/m, нижня — k₂ = 50 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 10 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 2,513 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 6,283 m/s

Потужність

P = (800 − 400)·6,283 = 2513 W = 2,513 kW

Відповідь

P = 2,513 kW

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 72 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 960·12/32 = 360 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 360·12/60 = 72 rpm

Відповідь

n_out = 72 rpm

загальне передаточне відношення = 13,33 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,8768 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(39000·251327) = 0,0153 rad

φ = 0,0153·180/π = 0,8768°

Відповідь

φ = 0,8768°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 45,5 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·80)) = 26,32 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 45,5 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(26,32, 45,5) = 45,5 mm

Відповідь

d = 45,5 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = −22,5 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 20 − −20) = −45°

Кут на елементі

θ_p = −22,5°

Відповідь

θ_p = −22,5°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: |τ_n| = 40,17 MPa

Напруження в стінці

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 2·750/6 = 250 MPa

σ_a = pr/(2t) = 125 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

|τ_n| = (250 − 125)·sin 20°·cos 20° = 40,17 MPa

Відповідь

|τ_n| = 40,17 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 5,006 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 115·1000/490,9 = 234,3 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 234,3/117000 = 0,002002 = 2002 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,002002·2500 mm = 5,006 mm

Відповідь

δ = 5,006 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 452,3 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·5890 = 7,108 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00125, 0,0006364) = 0,0006364 (бронза)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0006364·7,108 × 10⁸ = 452318 N = 452,3 kN

Відповідь

P_max = 452,3 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 11,75 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1750² = 11750 N = 11,75 kN

Відповідь

P_cr = 11,75 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 64,86 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·75000 = 150000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 64,86 mm

Відповідь

d = 64,86 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 123,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,0495

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·80) = 2828 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 140/2828 = 0,0495

Відповідь

ζ = 0,0495

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 4,545 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/50 → k_eq = 5·50/(5 + 50) = 4,545 kN/m

Відповідь

k_eq = 4,545 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design