Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 125 мм при 1450 об/хв приводить шків 250 мм пасом із прослизанням 3 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 250 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (12 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1450 rpm і приводить колесо B (18 зуб.). Колесо C (16 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (50 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1450 rpmA = 12B = 18C = 16D = 50

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (сталь) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 25 mm і довжину 1,5 m; ділянка BC має діаметр 20 mm і довжину 2,5 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 200 N·m. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

T = 200 N·md₁ = 25 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 20 mm, L₂ = 2,5 m

τ_max = MPa

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 10 kW при 1450 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,8 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 10 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 160 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 160 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 80 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 15° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 80 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 85 kNd = 12 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 95 kNділянка 1: Ø30 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 135 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 135 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 20 mm через один цикл іде пік 13,7 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 20 mmx₁ = 13,7 mmn = 1

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 25 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 20 kN/m, нижня — k₂ = 20 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 703,3 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

1450·125/250 = 725 rpm

З прослизанням

n₂ = 725·0,97 = 703,3 rpm

Відповідь

n₂ = 703,3 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 309,3 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 1450·12/18 = 966,7 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 966,7·16/50 = 309,3 rpm

Відповідь

n_out = 309,3 rpm

загальне передаточне відношення = 4,688 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 127,3 MPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Напруження на кожній ділянці

T = 200 N·m = 200000 N·mm

τ_AB = 16·200000/(π·25³) = 65,19 MPa

τ_BC = 16·200000/(π·20³) = 127,3 MPa

Відповідь

τ_max = 127,3 MPa

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 24,22 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 65,86 N·m = 65857 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·65857/(π·40·0,5904)) = 24,22 mm

d_i = 0,8·24,22 = 19,37 mm

Відповідь

d_o = 24,22 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 20,32 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = −3,797 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, 160 − 10) = −7,595°

Кут на елементі

θ_p = −3,797°

Відповідь

θ_p = −3,797°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 110 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 80 + 0·0,866 + 60·0,5 = 110 MPa

Відповідь

σ_θ = 110 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 6,424 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 85·1000/113,1 = 751,6 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 751,6/117000 = 0,006424 = 6424 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,006424·1000 mm = 6,424 mm

Відповідь

δ = 6,424 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,772 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 134,4 MPa

σ₂ = 302,4 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 134,4·1500/100000 = 2,016 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 302,4·500/200000 = 0,756 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,772 mm

Відповідь

δ = 2,772 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 9,87 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·4000 = 8000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/8000² = 9870 N = 9,87 kN

Відповідь

P_cr = 9,87 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 86,4 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·135000 = 337500 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 86,4 mm

Відповідь

d = 86,4 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 185,2, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,06011

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/1)·ln(20/13,7) = 0,3783

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3783/√(39,48 + 0,1431) = 0,06011

Відповідь

ζ = 0,06011

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 10 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/20 → k_eq = 20·20/(20 + 20) = 10 kN/m

Відповідь

k_eq = 10 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design