Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс
n1·N1 = n2·N2
Крутний момент
T2 = T1·(N2/N1)·η
Потужність
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача
загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Зі статичного прогину
ωn = √(g/δst)
Критичне демпфування
cc = 2√(km) = 2mωn
Коефіцієнт демпфування
ζ = c/cc
Частота загасаючих коливань
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно
k = k1 + k2
Пружини послідовно
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня
N1​ = 32N2​ = 50

Двигун потужністю 2,2 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 32, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 50. ККД зубчастої пари — 96 %. Знайдіть вихідний крутний момент T2 на валу колеса.

P = 2,2 kWn1 = 1440 rpmN1 = 32N2 = 50η = 96%
T2 = N·m
2.Зубчасті колеса й передачіСкладна
d1​ = 200 mmd2​ = 315 mm960 rpmC = 600 mmθ = ?

Відкритий пас з’єднує шків 200 мм і шків 315 мм, центри яких розташовані на відстані 600 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d1 = 200 mmd2 = 315 mmC = 600 mm
θ = °
3.Кручення валівСередня
do​ = ?T = 500 N·m

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 500 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,7 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр do.

T = 500 N·mdi/do = 0,7τallow = 80 MPa
do = mm
4.Кручення валівСкладна
d = 60 mmTB​ = 250 N·mTC​ = 2000 N·mABC0,5 m1,5 m

Суцільний вал (алюміній) діаметром 60 mm закріплений в A. У B, на відстані 0,5 m від A, діє обертовий момент 250 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1,5 m далі, діє момент 2000 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть величину кута закручування φC кінця C у градусах.

d = 60 mmTB = 250 N·mTC = 2000 N·mAB = 0,5 mBC = 1,5 mG = 26 GPa
φC = °
5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 10σy​ = −80τxy​ = −30MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 10 MPa, σᵧ = −80 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θp від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σx = 10 MPaσy = −80 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 130σy​ = 10τxy​ = −40MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 130 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σθ на площадці, нормаль до якої повернута на 50° проти годинникової стрілки від осі x.

σx = 130 MPaσy = 10 MPaτxy = −40 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 30 mmСталь3 mP = 30 kN

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 30 kNd = 30 mmL = 3 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Осьове напруження й деформаціяСкладна
P = ?Ø30100 GPaØ120/70300 mm

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 250 МПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 100 ГПа, допустиме напруження 80 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження Pmax.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.Стійкість колонСередня
PL = 1,5 m20 × 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 6 md = 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Механічні коливанняСередня
k = 20 kN/mζ = 0,35m = 100 kg

Маса 100 kg на пружині жорсткістю 20 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,35. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань fd у Hz.

m = 100 kgk = 20 kN/mζ = 0,35
fd = Hz
12.Механічні коливанняСкладна
k1​ = 5k2​ = 30k3​ = 100m = 10 kg

Маса 10 kg висить на пружині k₃ = 100 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 5 kN/m і k₂ = 30 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту fn вертикальних коливань у Hz.

m = 10 kgk1 = 5 kN/mk2 = 30 kN/mk3 = 100 kN/m
fn = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T2 = 21,88 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/150,8 = 14,59 N·m

Вихідний крутний момент

T2 = 14,59·50/32·0,96 = 21,88 N·m

Відповідь

T2 = 21,88 N·m
2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 169 °

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут паса

asin(0,09583) = 5,499°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·5,499 = 169°

Відповідь

θ = 169°
3.Кручення валів

Відповідь: do = 34,73 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·80·0,7599)) = 34,73 mm
di = 0,7·34,73 = 24,31 mm

Відповідь

do = 34,73 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 31,69 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: φC = 6,711 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Внутрішні крутні моменти

Напрямок TC прийнято за додатний.

TBC = TC = 2000 N·m
TAB = TC − TB = 2000 − 250 = 1750 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 1,75 × 10⁶·500/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,02645 rad
φBC = 2 × 10⁶·1500/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,09069 rad

Кут закручування кінця C

φC = 0,02645 + 0,09069 = 0,1171 rad → |φC| = 6,711°

Відповідь

φC = 6,711°
5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θp = −16,85 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCσ1​σ2​

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−30, 10 − −80) = −33,69°

Кут на елементі

θp = −16,85°

Відповідь

θp = −16,85°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σθ = 20,19 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення

σθ = 70 + 60·−0,1736 + −40·0,9848 = 20,19 MPa

Відповідь

σθ = 20,19 MPa
7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,6366 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 30·1000/706,9 = 42,44 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 42,44/200000 = 0,0002122 = 212,2 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0002122·3000 mm = 0,6366 mm

Відповідь

δ = 0,6366 mm
8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: Pmax = 710 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·7461 = 8,875 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00125, 0,0008) = 0,0008 (латунь)

Найбільше навантаження

Pmax = 0,0008·8,875 × 10⁸ = 710000 N = 710 kN

Відповідь

Pmax = 710 kN
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 7,311 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1500 = 3000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/3000² = 7311 N = 7,311 kN

Відповідь

Pcr = 7,311 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 2,999 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/12,5 = 480

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/480² = 2,999 MPa

Відповідь

σcr = 2,999 MPa
11.Механічні коливання

Відповідь: fd = 2,108 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ωn = √(20000/100) = 14,14 rad/s
fn = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Частота загасаючих коливань

fd = fn·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,35²) = 2,108 Hz

Відповідь

fd = 2,108 Hz
12.Механічні коливання

Відповідь: fn = 8,104 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k1 і k2. Ця пара з’єднана послідовно з k3, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k12 = 5 + 30 = 35 kN/m
keq = 35·100/(35 + 100) = 25,93 kN/m

Власна частота

ωn = √(25926/10) = 50,92 rad/s
fn = 50,92/(2π) = 8,104 Hz

Відповідь

fn = 8,104 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design