Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 90 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 1,5 mm і передаточним відношенням 5 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₁ має мати шестірня?

a = 90 mmm = 1,5 mmi = 5

N₁ =

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує шків 150 мм і шків 315 мм, центри яких розташовані на відстані 800 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d₁ = 150 mmd₂ = 315 mmC = 800 mm

θ = °

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (алюміній) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 30 mm і довжину 2,5 m; ділянка BC має діаметр 25 mm і довжину 1,2 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 250 N·m. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

T = 250 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 1,2 m

τ_max = MPa

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 100 kW при 1450 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,7 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 100 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 0 MPa, σᵧ = −10 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 0 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 30 mm сприймає осьову розтягувальну силу 50 kN разом з обертовим моментом 500 N·m. На поверхні вала знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τ_max.

d = 30 mmF = 50 kNT = 500 N·m

τ_max = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 25 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 30 мм, довжина 200 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,4 мм.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 80 kNділянка 1: Ø30 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1,5 m, алюміній (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 25 mm через 2 циклів іде пік 9,1 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 25 mmx₂ = 9,1 mmn = 2

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на пружині k₃ = 5 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 80 kN/m і k₂ = 10 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₁ = 20

Геометрія зубчастих коліс: модуль m задає розмір зуба. Колесо з N зубцями має ділильний діаметр d = m·N, два зчеплені колеса мають однаковий модуль, а міжосьова відстань a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Колова швидкість на ділильному колі v = π·d·n/60, а колова сила на зубцях випливає з обертового моменту: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·90/1,5 = 120

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 120/(1 + 5) = 20

Відповідь

N₁ = 20

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 168,2 °

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут паса

asin(0,1031) = 5,919°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·5,919 = 168,2°

Відповідь

θ = 168,2°

3.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 81,49 MPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Напруження на кожній ділянці

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·30³) = 47,16 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa

Відповідь

τ_max = 81,49 MPa

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 38,9 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 658,6 N·m = 658572 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·658572/(π·75·0,7599)) = 38,9 mm

d_i = 0,7·38,9 = 27,23 mm

Відповідь

d_o = 38,9 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 35,5 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 40,31 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((0 − −10)/2)² + 40²) = 40,31 MPa

Відповідь

τ_max = 40,31 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 100,7 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = 50000/(π·30²/4) = 50000/706,9 = 70,74 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 35,37 MPa

R = √(35,37² + 94,31²) = 100,7 MPa

Відповідь

τ_max = 100,7 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 67,97 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,4/5,885 × 10⁻⁶ = 67967 N = 67,97 kN

Відповідь

P = 67,97 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 6,023 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 113,2 MPa

σ₂ = 254,6 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 113,2·500/100000 = 0,5659 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 254,6·1500/70000 = 5,457 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,023 mm

Відповідь

δ = 6,023 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 4,318 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/6000² = 4318 N = 4,318 kN

Відповідь

P_cr = 4,318 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 25,18 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/7,5 = 280

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Відповідь

σ_cr = 25,18 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,08016

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/2)·ln(25/9,1) = 0,5053

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5053/√(39,48 + 0,2553) = 0,08016

Відповідь

ζ = 0,08016

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 4,899 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 80 + 10 = 90 kN/m

k_eq = 90·5/(90 + 5) = 4,737 kN/m

Власна частота

ω_n = √(4737/5) = 30,78 rad/s

f_n = 30,78/(2π) = 4,899 Hz

Відповідь

f_n = 4,899 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design