Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 54 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 1,5 mm і передаточним відношенням 3 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₂ має мати колесо?

a = 54 mmm = 1,5 mmi = 3

N₂ =

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (12 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (50 зуб.). Колесо C (36 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (80 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1440 rpmA = 12B = 50C = 36D = 80

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 1500 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,6 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 1500 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) діаметром 40 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 0,5 m від A і 1 m від B, прикладено обертовий момент 400 N·m. Знайдіть кут повороту φ_C перерізу C у градусах.

d = 40 mmT₀ = 400 N·ma = 0,5 mb = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 70 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 60° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 70 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 30 mm сприймає осьову розтягувальну силу 20 kN разом з обертовим моментом 2000 N·m. На поверхні вала знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τ_max.

d = 30 mmF = 20 kNT = 2000 N·m

τ_max = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 45 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 95 kNділянка 1: Ø25 mm, 0,5 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 20 kg на пружині жорсткістю 25 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,4. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 20 kgk = 25 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 100 kN/m, нижня — k₂ = 80 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 20 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₂ = 54

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·54/1,5 = 72

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 72/(1 + 3) = 18

N₂ = 3·18 = 54

Відповідь

N₂ = 54

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 155,5 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 1440·12/50 = 345,6 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 345,6·36/80 = 155,5 rpm

Відповідь

n_out = 155,5 rpm

загальне передаточне відношення = 9,259 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 55,99 mm

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·50·0,8704)) = 55,99 mm

d_i = 0,6·55,99 = 33,6 mm

Відповідь

d_o = 55,99 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 53,46 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 0,7794 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише T_A + T_B = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·1/1,5 = 266,7 N·m

T_B = 400·0,5/1,5 = 133,3 N·m

Кут повороту C

Використайте ділянку AC: вона закріплена в A і передає T_A.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 266667·500/(39000·251327) = 0,0136 rad = 0,7794°

Відповідь

φ_C = 0,7794°

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 3,038 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 40 − 30·(−0,5) − 60·0,866 = 3,038 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 76,96 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 80 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 3,038 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 377,5 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = 20000/(π·30²/4) = 20000/706,9 = 28,29 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·30³) = 377,3 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 14,15 MPa

R = √(14,15² + 377,3²) = 377,5 MPa

Відповідь

τ_max = 377,5 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,842 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/113,1 = 397,9 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 397,9/70000 = 0,005684 = 5684 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,005684·500 mm = 2,842 mm

Відповідь

δ = 2,842 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 13,43 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 840 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 193,5·500/117000 = 0,8271 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 840·1500/100000 = 12,6 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 13,43 mm

Відповідь

δ = 13,43 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 5,118 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·3000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/6000² = 5118 N = 5,118 kN

Відповідь

P_cr = 5,118 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 7,896 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/20 = 500

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Відповідь

σ_cr = 7,896 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 5,157 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(25000/20) = 35,36 rad/s

f_n = 35,36/(2π) = 5,627 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,627·√(1 − 0,4²) = 5,157 Hz

Відповідь

f_d = 5,157 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 44,44 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/80 → k_eq = 100·80/(100 + 80) = 44,44 kN/m

Відповідь

k_eq = 44,44 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design