Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Збір даних і дискретизація

Критерій Найквіста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Частота аліасу: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Розмір кроку: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Похибка квантування (округлення): ±½ LSB
Код АЦП з відсіканням: D = ⌊V_in/LSB⌋
Кількість розрядів для роздільності r: 2ᴺ ≥ span/r
Ідеальне SQNR, синус на повну шкалу: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Швидкість передавання даних: канали × f_s × N біт/с
АЦП з мультиплексуванням: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/бод; 8N1 = 10 біт на байт; байт/с = бод/біт у кадрі
Дільник швидкості передавання (бод): baud = f_clk/(16·D)

Метод

Випишіть, що дано: частоту дискретизації, частоти сигналу, кількість розрядів, вхідний діапазон, швидкість у бодах.
У задачах на дискретизацію порівнюйте кожну частоту з f_s/2; вища частота виглядає як f_a = |f − k·f_s| з найближчим кратним f_s.
У задачах на роздільність знайдіть 1 LSB = V_FSR/2ᴺ або найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/роздільність.
У задачах на швидкість даних і лінії UART враховуйте все, що передається: канали, відліки за секунду, біти чи цілі байти на відлік, а також стартові, паритетні й стопові біти кожного кадру.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Гальванометр з опором 200 Ω увімкнено між a і b показаного моста (V_s = 5 V). Знайдіть струм гальванометра I_g від a до b у µA.

V_s = 5 VR₁ = 200 ΩR₂ = 80 ΩR₃ = 800 ΩR₄ = 60 ΩR_g = 200 Ω

I_g = µA

2.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Чвертьміст (один активний тензорезистор, GF = 2,12) живиться від 2,5 V. Найбільшу вимірювану деформацію 1200 µε треба перетворити на 3,3 V на вході аналого-цифрового перетворювача. Знайдіть коефіцієнт підсилення підсилювача G.

V_s = 2,5 VGF = 2,12ε_max = 1200 µεV_FS = 3,3 V

G =

3.Збір даних і дискретизаціяСередня

Знайдіть ідеальне відношення сигнал/шум квантування SQNR 14-розрядного АЦП для синусоїди на повну шкалу.

N = 14

SQNR = dB

4.Збір даних і дискретизаціяСкладна

Прямокутний сигнал 1,75 kHz дискретизується з частотою 5 kHz без антиаліасингового фільтра. Прямокутний сигнал містить непарні гармоніки 3f₁, 5f₁, 7f₁, … На якій частоті f_a у дискретизованих даних з’являється його гармоніка 7f₁? Подайте в Hz.

f₁ = 1,75 kHzf_s = 5 kHzгармоніка: 7f₁

f_a = Hz

5.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V_in = 1,9 VR₁ = 4,7 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

6.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

Сумувальний підсилювач використовує ідеальний ОП, що живиться від ±15 V. Знайдіть струм I_f через резистор зворотного зв’язку, що тече до виходу.

V₁ = 2 VV₂ = −0,7 VR₁ = 22 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 2 kΩ

I_f = mA

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

9.Тевенен і НортонСередня

До a–b підключено навантаження R_L = 10 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження I_L.

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR_L = 10 Ω

I_L = A

10.Тевенен і НортонСкладна

До a–b підключено навантаження R_L = 4 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження I_L.

V₁ = 15 VI_s = 2,5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 4 Ω

I_L = A

3Розчини

1.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: I_g = 3450 µA

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напруга Тевенена

V_th = 5·(80/280 − 60/860) = 1,08 V

Опір Тевенена

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 113 Ω

Струм гальванометра

I_g = 1,08/(113 + 200) = 3450 µA

Відповідь

I_g = 3450 µA

2.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: G = 2075

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Вихід мосту на повній шкалі

V_o = 1,59 mV

Коефіцієнт підсилення

G = 3,3/0,00159 = 2075

Відповідь

G = 2075

3.Збір даних і дискретизація

Відповідь: SQNR = 86,04 dB

Роздільність АЦП: N-розрядний перетворювач ділить свій діапазон повної шкали V_FSR на 2ᴺ кодів, від 0 до 2ᴺ − 1. Один крок дорівнює 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: найменша зміна, яку може показати перетворювач. АЦП з відсіканням дає код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП із округленням ніколи не відхиляється від істинного значення більш ніж на ½ LSB, це його похибка квантування. Кожен додатковий розряд зменшує LSB удвічі й додає близько 6 дБ до ідеального відношення сигнал/шум квантування SQNR = 6,02·N + 1,76 дБ для синуса на повну шкалу. Щоб досягти роздільності r на діапазоні, оберіть найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/r.

Ідеальне SQNR

SQNR = 6,02·14 + 1,76 = 86,04 dB

Відповідь

SQNR = 86,04 dB

4.Збір даних і дискретизація

Відповідь: f_a = 2250 Hz

Дискретизація: АЦП вимірює сигнал f_s разів за секунду. За теоремою Найквіста–Шеннона частота f фіксується правильно лише доти, доки f < f_s/2, частота Найквіста (згортання), тож частота дискретизації має перевищувати подвоєну найвищу частоту сигналу. Вища частота не втрачається: вона з’являється як аліас на f_a = |f − k·f_s|, де ціле k дає результат між 0 і f_s/2. Відліки не розрізняють їх, тому аналоговий антиаліасинговий фільтр має прибрати все, що вище f_s/2, перед АЦП.

Частота гармоніки

7f₁ = 7·1,75 kHz = 12,25 kHz

Найближче кратне частоти дискретизації

m = round(2,45) = 2

Частота аліасу

f_a = |12250 − 2·5000| = 2250 Hz

Відповідь

f_a = 2250 Hz

Аліас потрапляє всередину смуги сигналу, де жоден цифровий фільтр його не прибере. Допоможе лише аналоговий фільтр перед АЦП.

5.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = 10,79 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Інвертувальний вхід повторює вхід

V₋ = V₊ = 1,9 V

I = V₋/R₁ = 1,9/4,7 = 0,4043 mA

Вихідна напруга

Струм через R₁ тече й через R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = 1,9 + 0,4043·22 = 10,79 V

Відповідь

V_out = 10,79 V

6.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: I_f = −0,2591 mA

Вхідні струми

V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.

I₁ = V₁/R₁ = 2/22 = 0,09091 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,7/2 = −0,35 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,2591 mA

Відповідь

I_f = −0,2591 mA

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 1,417 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 8 + 5 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 4·13/(4+13) = 3,059 Ω

R_eq = R₁ + 3,059 = 4 + 3,059 = 7,059 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/7,059 = 1,417 A

Відповідь

I_R1 = 1,417 A

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 3,869 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 4 + 30 = 34 Ω

R₄ ∥ 34 = 3,579 Ω

R₃ + 3,579 = 28,58 Ω

R₂ ∥ 28,58 = 1,869 Ω

R_eq = R₁ + 1,869 = 2 + 1,869 = 3,869 Ω

Відповідь

R_eq = 3,869 Ω

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_L = 0,2687 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 12·8/(12+8) = 4,8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,8 + 12 = 16,8 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·8/(12+8) = 7,2 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 7,2/(16,8 + 10) = 0,2687 A

10.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_L = −1,663 A

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 5·6/(5+6) = 2,727 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,727 + 15 = 17,73 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8,182 + (−2,5)·2,727 = 1,364 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 1,364 + (−2,5)·15 = −36,14 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −36,14/(17,73 + 4) = −1,663 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Метод

Збір даних і дискретизація

Метод

Схеми з операційними підсилювачами

Послідовні й паралельні резистори

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Напруга Тевенена

Опір Тевенена

Струм гальванометра

Відповідь

Вихід мосту на повній шкалі

Коефіцієнт підсилення

Відповідь

Ідеальне SQNR

Відповідь

Частота гармоніки

Найближче кратне частоти дискретизації

Частота аліасу

Відповідь

Інвертувальний вхід повторює вхід

Вихідна напруга

Відповідь

Вхідні струми

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Струм джерела

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу