Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Збір даних і дискретизація

Критерій Найквіста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Частота аліасу: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Розмір кроку: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Похибка квантування (округлення): ±½ LSB
Код АЦП з відсіканням: D = ⌊V_in/LSB⌋
Кількість розрядів для роздільності r: 2ᴺ ≥ span/r
Ідеальне SQNR, синус на повну шкалу: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Швидкість передавання даних: канали × f_s × N біт/с
АЦП з мультиплексуванням: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/бод; 8N1 = 10 біт на байт; байт/с = бод/біт у кадрі
Дільник швидкості передавання (бод): baud = f_clk/(16·D)

Метод

Випишіть, що дано: частоту дискретизації, частоти сигналу, кількість розрядів, вхідний діапазон, швидкість у бодах.
У задачах на дискретизацію порівнюйте кожну частоту з f_s/2; вища частота виглядає як f_a = |f − k·f_s| з найближчим кратним f_s.
У задачах на роздільність знайдіть 1 LSB = V_FSR/2ᴺ або найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/роздільність.
У задачах на швидкість даних і лінії UART враховуйте все, що передається: канали, відліки за секунду, біти чи цілі байти на відлік, а також стартові, паритетні й стопові біти кожного кадру.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Міст має чотири плеча по 300 Ω і V_s = 10 V. Датчик R₂ збільшується на ΔR = 3 Ω. У наближенні малих змін знайдіть вихід V_ab у mV.

V_s = 10 VR = 300 ΩΔR = 3 Ω

V_ab = mV

2.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Міст із плечима по 120 Ω живиться від 3 V і має один активний тензорезистор (чвертьміст). Коефіцієнт тензочутливості — 2, деформація — 500 µε. Знайдіть вихід мосту V_o у mV.

V_s = 3 VGF = 2ε = 500 µε

V_o = mV

3.Збір даних і дискретизаціяСередня

10-розрядний АЦП із вхідним діапазоном від 0 до 10 В відсікає: його вихідний код — ⌊V_in/LSB⌋ при 1 LSB = V_FSR/2ᴺ. Знайдіть десятковий вихідний код D для входу 1,32 В.

N = 10V_FSR = 10 VV_in = 1,32 V

D =

4.Збір даних і дискретизаціяСкладна

Мікроконтролер із тактовою частотою 4 МГц задає швидкість UART як f_clk/(16·D), де D — ціле число, округлене до найближчого значення. Цільова швидкість — 115200 бод. Знайдіть відсоткову похибку реальної швидкості (додатну, якщо вона завелика).

f_clk = 4 MHzціль = 115200 Bd

e = %

5.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V_in = −3 VR_a = 47 kΩR_b = 10 kΩR₁ = 10 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

6.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

Інтегратор використовує ідеальний ОП із живленням ±15 V; його вихід насичується на рівні ±13 V. Конденсатор розряджений, коли при t = 0 подається стала вхідна напруга V_in = −0,7 V. Через який час після t = 0 вихід досягне насичення? Знайдіть t.

V_in = −0,7 VR = 1 kΩC = 0,47 µFV_sat = ±13 V

t = ms

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 25 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

9.Тевенен і НортонСередня

Знайдіть струм Нортона I_N: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 Ω

I_N = A

10.Тевенен і НортонСкладна

Знайдіть напругу Тевенена V_th з боку затискачів a–b.

V₁ = 36 VI_s = 1 AR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

3Розчини

1.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: V_ab = 25 mV

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Відносна зміна

ΔR/R = 3/300 = 0,01

Лінеаризований вихід

V_ab ≈ 10·0,01/4 = 25 mV

Відповідь

V_ab = 25 mV

Точне значення становить 24,88 mV; наближення добре, поки ΔR/R мале.

2.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: V_o = 0,75 mV

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Відносна зміна опору

ΔR/R = 2·500·10⁻⁶ = 0,001

Вихід мосту

V_o ≈ V_s·GF·ε/4 = 3·0,001/4 = 0,75 mV

Відповідь

V_o = 0,75 mV

3.Збір даних і дискретизація

Відповідь: D = 135

Роздільність АЦП: N-розрядний перетворювач ділить свій діапазон повної шкали V_FSR на 2ᴺ кодів, від 0 до 2ᴺ − 1. Один крок дорівнює 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: найменша зміна, яку може показати перетворювач. АЦП з відсіканням дає код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП із округленням ніколи не відхиляється від істинного значення більш ніж на ½ LSB, це його похибка квантування. Кожен додатковий розряд зменшує LSB удвічі й додає близько 6 дБ до ідеального відношення сигнал/шум квантування SQNR = 6,02·N + 1,76 дБ для синуса на повну шкалу. Щоб досягти роздільності r на діапазоні, оберіть найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/r.

Розмір кроку

1 LSB = 10/2¹⁰ = 9,766 mV

Код

V_in/LSB = 1320/9,766 = 135,2

код = ⌊135,2⌋ = 135

Відповідь

D = 135

У двійковому записі це 0010000111.

4.Збір даних і дискретизація

Відповідь: e = 8,507 %

UART: асинхронна послідовна лінія передає кожен байт як кадр: один стартовий біт (низький), біти даних, необов’язковий біт парності та один або два стопові біти (високі). Швидкість у бодах — це кількість біт за секунду, тож один біт триває T_b = 1/бод, а кадр із n біт — n/бод. Поширений формат 8N1 має 10 біт на байт. Генератор швидкості ділить тактову частоту: бод = f_clk/(16·D) із цілим D, тож реальна швидкість трохи відрізняється від цільової; похибка менш ніж приблизно 2 % зазвичай прийнятна.

Дільник

D = 4·10⁶/(16·115200) = 2,17 → 2

Реальна швидкість у бодах

4·10⁶/(16·2) = 125000 Bd

Похибка

(125000 − 115200)/115200·100 = 8,507 %

Відповідь

e = 8,507 %

Похибка понад приблизно 2 % робить лінію ненадійною: оберіть іншу тактову частоту чи швидкість.

5.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = −1,053 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Напруга на вході +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = −3·10/(47 + 10) = −0,5263 V

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

V₋ = V₊, і струм через R₁ тече також через R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = −0,5263·(1 + 10/10) = −1,053 V

Відповідь

V_out = −1,053 V

6.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: t = 8,729 ms

Вхідний струм і швидкість наростання

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

RC = 1 kΩ · 0,47 µF = 0,47 ms

швидкість наростання = −V_in/(RC) = −(−0,7)/0,47 = 1,489 V/ms

Час до насичення

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 13·0,47/0,7 = 8,729 ms

Відповідь

t = 8,729 ms

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 15,76 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 20 + 2 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 12·22/(12+22) = 7,765 Ω

R_eq = R₁ + 7,765 = 8 + 7,765 = 15,76 Ω

Відповідь

R_eq = 15,76 Ω

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,6352 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 10 + 8 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 11,25 Ω

R₃ + 11,25 = 15,25 Ω

R₂ ∥ 15,25 = 6,716 Ω

R_eq = R₁ + 6,716 = 25 + 6,716 = 31,72 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/31,72 = 1,135 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 1,135·25 = 7,623 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,623/12 = 0,6352 A

Відповідь

I_R2 = 0,6352 A

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_N = 0,5 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·15/(10+15) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 12 = 18 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·15/(10+15) = 9 V

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

I_N = V_th/R_th = 9/18 = 0,5 A

10.Тевенен і Нортон

Відповідь: V_th = 36,75 V

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 5·15/(5+15) = 3,75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,75 + 6 = 9,75 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 27 + 1·3,75 = 30,75 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 30,75 + 1·6 = 36,75 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Метод

Збір даних і дискретизація

Метод

Схеми з операційними підсилювачами

Послідовні й паралельні резистори

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Відносна зміна

Лінеаризований вихід

Відповідь

Відносна зміна опору

Вихід мосту

Відповідь

Розмір кроку

Код

Відповідь

Дільник

Реальна швидкість у бодах

Похибка

Відповідь

Напруга на вході +

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

Відповідь

Вхідний струм і швидкість наростання

Час до насичення

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Струм джерела

Струм через R₂

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Еквівалент Нортона

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу