Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Збір даних і дискретизація

Критерій Найквіста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Частота аліасу: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Розмір кроку: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Похибка квантування (округлення): ±½ LSB
Код АЦП з відсіканням: D = ⌊V_in/LSB⌋
Кількість розрядів для роздільності r: 2ᴺ ≥ span/r
Ідеальне SQNR, синус на повну шкалу: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Швидкість передавання даних: канали × f_s × N біт/с
АЦП з мультиплексуванням: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/бод; 8N1 = 10 біт на байт; байт/с = бод/біт у кадрі
Дільник швидкості передавання (бод): baud = f_clk/(16·D)

Метод

Випишіть, що дано: частоту дискретизації, частоти сигналу, кількість розрядів, вхідний діапазон, швидкість у бодах.
У задачах на дискретизацію порівнюйте кожну частоту з f_s/2; вища частота виглядає як f_a = |f − k·f_s| з найближчим кратним f_s.
У задачах на роздільність знайдіть 1 LSB = V_FSR/2ᴺ або найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/роздільність.
У задачах на швидкість даних і лінії UART враховуйте все, що передається: канали, відліки за секунду, біти чи цілі байти на відлік, а також стартові, паритетні й стопові біти кожного кадру.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Гальванометр з опором 500 Ω увімкнено між a і b показаного моста (V_s = 3 V). Знайдіть струм гальванометра I_g від a до b у µA.

V_s = 3 VR₁ = 60 ΩR₂ = 400 ΩR₃ = 100 ΩR₄ = 1000 ΩR_g = 500 Ω

I_g = µA

2.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Чвертьміст з одним активним тензорезистором (GF = 2,12) живиться від 10 V. Під навантаженням вихід показує 1,325 mV. Знайдіть деформацію ε у µε.

V_s = 10 VGF = 2,12V_o = 1,325 mV

ε = µε

3.Збір даних і дискретизаціяСередня

Реєстратор дискретизує 4 каналів з частотою 2 кГц кожен 16-розрядним АЦП. Кожен відлік зберігається в цілих байтах. Знайдіть пам’ять M, потрібну для запису тривалістю 5 хв, у МБ (1 МБ = 10⁶ байт).

n = 4f_s = 2 kHzN = 16t = 5 min

M = MB

4.Збір даних і дискретизаціяСкладна

24-розрядний АЦП передає кожен відлік через UART зі швидкістю 115200 бод, формат 8N1 (стартовий біт, 8 біт даних, 1 стоповий біт). Кожен відлік надсилається як 3 цілих байт(и), і лінія зайнята весь час. Знайдіть найвищу частоту сигналу f_max, яку можна дискретизувати без аліасингу, у Гц.

baud = 115200 BdN = 248N1

f_max = Hz

5.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

Підберіть резистор зворотного зв’язку R_f, щоб цей неінвертувальний підсилювач мав коефіцієнт підсилення за напругою 31.

R₁ = 10 kΩA_v = 31

R_f = kΩ

6.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

Сумувальний підсилювач використовує ідеальний ОП, що живиться від ±15 V. Знайдіть струм I_f через резистор зворотного зв’язку, що тече до виходу.

V₁ = 0,5 VV₂ = 1,4 VR₁ = 22 kΩR₂ = 10 kΩR_f = 47 kΩ

I_f = mA

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

9.Тевенен і НортонСередня

Знайдіть опір Тевенена R_th з боку затискачів a–b.

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 Ω

R_th = Ω

10.Тевенен і НортонСкладна

До a–b підключено навантаження R_L = 3 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження I_L.

V₁ = 10 VI_s = 3 AR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

3Розчини

1.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: I_g = −184,4 µA

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напруга Тевенена

V_th = 3·(400/460 − 1000/1100) = −0,1186 V

Опір Тевенена

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 143,1 Ω

Струм гальванометра

I_g = −0,1186/(143,1 + 500) = −184,4 µA

Відповідь

I_g = −184,4 µA

2.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: ε = 250 µε

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Розв’яжіть рівняння чвертьмосту

ε = 4·0,001325/(10·2,12) = 0,00025

У мікродеформаціях

ε = 250 µε

Відповідь

ε = 250 µε

3.Збір даних і дискретизація

Відповідь: M = 4,8 MB

Швидкості даних: кожен канал дає f_s відліків за секунду по N біт, тож сира швидкість дорівнює канали × f_s × N біт/с. У пам’яті відлік займає цілі байти (12-бітний відлік зберігається в 2 байтах), тож пам’ять для запису дорівнює канали × f_s × байти на відлік × час. АЦП з мультиплексуванням перетворює канали один за одним: кожне перетворення (із часом встановлення) триває t, тож один цикл із n каналів триває n·t, а кожен канал дискретизується з частотою 1/(n·t).

Байти на відлік

⌈16/8⌉ = 2 B

Швидкість у байтах

4·2000·2 = 16000 B/s

Пам’ять

M = 16000·300 = 4,8 × 10⁶ B = 4,8 MB

Відповідь

M = 4,8 MB

4.Збір даних і дискретизація

Відповідь: f_max = 1920 Hz

UART: асинхронна послідовна лінія передає кожен байт як кадр: один стартовий біт (низький), біти даних, необов’язковий біт парності та один або два стопові біти (високі). Швидкість у бодах — це кількість біт за секунду, тож один біт триває T_b = 1/бод, а кадр із n біт — n/бод. Поширений формат 8N1 має 10 біт на байт. Генератор швидкості ділить тактову частоту: бод = f_clk/(16·D) із цілим D, тож реальна швидкість трохи відрізняється від цільової; похибка менш ніж приблизно 2 % зазвичай прийнятна.

Біти на відлік на лінії

3·10 = 30 bit

Найвища частота дискретизації

f_s,max = 115200/30 = 3840 Hz

Межа Найквіста

f_max = 3840/2 = 1920 Hz

Відповідь

f_max = 1920 Hz

5.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: R_f = 300 kΩ

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

V₋ = V₊ = V_in, а струм через R₁ тече й через R_f, тож V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (31 − 1)·10 = 300 kΩ

Відповідь

R_f = 300 kΩ

6.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: I_f = 0,1627 mA

Вхідні струми

V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.

I₁ = V₁/R₁ = 0,5/22 = 0,02273 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,4/10 = 0,14 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,1627 mA

Відповідь

I_f = 0,1627 mA

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,3429 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 12 + 3 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 3·15/(3+15) = 2,5 Ω

R_eq = R₁ + 2,5 = 15 + 2,5 = 17,5 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/17,5 = 0,3429 A

Відповідь

I_R1 = 0,3429 A

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,6609 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 8 + 4 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 4,8 Ω

R₃ + 4,8 = 7,8 Ω

R₂ ∥ 7,8 = 5,132 Ω

R_eq = R₁ + 5,132 = 10 + 5,132 = 15,13 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/15,13 = 0,6609 A

Відповідь

I_R1 = 0,6609 A

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: R_th = 23,75 Ω

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·10/(6+10) = 3,75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,75 + 20 = 23,75 Ω

10.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_L = −1,117 A

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 5·12/(5+12) = 3,529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,529 + 2 = 5,529 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7,059 + (−3)·3,529 = −3,529 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −3,529 + (−3)·2 = −9,529 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −9,529/(5,529 + 3) = −1,117 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Метод

Збір даних і дискретизація

Метод

Схеми з операційними підсилювачами

Послідовні й паралельні резистори

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Напруга Тевенена

Опір Тевенена

Струм гальванометра

Відповідь

Розв’яжіть рівняння чвертьмосту

У мікродеформаціях

Відповідь

Байти на відлік

Швидкість у байтах

Пам’ять

Відповідь

Біти на відлік на лінії

Найвища частота дискретизації

Межа Найквіста

Відповідь

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

Відповідь

Вхідні струми

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Струм джерела

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Струм джерела

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу