Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Збір даних і дискретизація

Критерій Найквіста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Частота аліасу: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Розмір кроку: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Похибка квантування (округлення): ±½ LSB
Код АЦП з відсіканням: D = ⌊V_in/LSB⌋
Кількість розрядів для роздільності r: 2ᴺ ≥ span/r
Ідеальне SQNR, синус на повну шкалу: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Швидкість передавання даних: канали × f_s × N біт/с
АЦП з мультиплексуванням: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/бод; 8N1 = 10 біт на байт; байт/с = бод/біт у кадрі
Дільник швидкості передавання (бод): baud = f_clk/(16·D)

Метод

Випишіть, що дано: частоту дискретизації, частоти сигналу, кількість розрядів, вхідний діапазон, швидкість у бодах.
У задачах на дискретизацію порівнюйте кожну частоту з f_s/2; вища частота виглядає як f_a = |f − k·f_s| з найближчим кратним f_s.
У задачах на роздільність знайдіть 1 LSB = V_FSR/2ᴺ або найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/роздільність.
У задачах на швидкість даних і лінії UART враховуйте все, що передається: канали, відліки за секунду, біти чи цілі байти на відлік, а також стартові, паритетні й стопові біти кожного кадру.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Гальванометр з опором 50 Ω увімкнено між a і b показаного моста (V_s = 9 V). Знайдіть струм гальванометра I_g від a до b у µA.

V_s = 9 VR₁ = 500 ΩR₂ = 1000 ΩR₃ = 80 ΩR₄ = 20 ΩR_g = 50 Ω

I_g = µA

2.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Міст із плечима по 350 Ω живиться від 2,5 V і має один активний тензорезистор (чвертьміст). Коефіцієнт тензочутливості — 2,1, деформація — 1500 µε. Знайдіть вихід мосту V_o у mV.

V_s = 2,5 VGF = 2,1ε = 1500 µε

V_o = mV

3.Збір даних і дискретизаціяСередня

АЦП із вхідним діапазоном від 0 до 5 В має розрізняти кроки 1 мВ або менші. Знайдіть найменшу кількість розрядів N.

V_FSR = 5 Vроздільність = 1 mV

N =

4.Збір даних і дискретизаціяСкладна

Для аудіовимірювання потрібне ідеальне відношення сигнал/шум квантування щонайменше 55 дБ для синусоїди на повну шкалу. Знайдіть найменшу кількість розрядів АЦП N.

SQNR ≥ 55 dB

N =

5.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

Диференціальний підсилювач використовує ідеальний ОП із живленням ±15 V, R₃ = R₁ і R₄ = R₂. Знайдіть напругу V₋ на інвертувальному вході.

V₁ = −2,7 VV₂ = −1 VR₁ = R₃ = 4,7 kΩR₂ = R₄ = 22 kΩ

V₋ = V

6.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

Сумувальний підсилювач використовує ідеальний ОП, що живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V₁ = −0,6 VV₂ = −1,8 VR₁ = 2 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

9.Тевенен і НортонСередня

Знайдіть напругу Тевенена V_th з боку затискачів a–b.

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

10.Тевенен і НортонСкладна

Знайдіть напругу Тевенена V_th з боку затискачів a–b.

V₁ = 18 VI_s = 0,5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 Ω

V_th = V

3Розчини

1.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: I_g = 10518 µA

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напруга Тевенена

V_th = 9·(1000/1500 − 20/100) = 4,2 V

Опір Тевенена

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 349,3 Ω

Струм гальванометра

I_g = 4,2/(349,3 + 50) = 10518 µA

Відповідь

I_g = 10518 µA

2.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: V_o = 1,969 mV

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Відносна зміна опору

ΔR/R = 2,1·1500·10⁻⁶ = 0,00315

Вихід мосту

V_o ≈ V_s·GF·ε/4 = 2,5·0,00315/4 = 1,969 mV

Відповідь

V_o = 1,969 mV

3.Збір даних і дискретизація

Відповідь: N = 13

Роздільність АЦП: N-розрядний перетворювач ділить свій діапазон повної шкали V_FSR на 2ᴺ кодів, від 0 до 2ᴺ − 1. Один крок дорівнює 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: найменша зміна, яку може показати перетворювач. АЦП з відсіканням дає код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП із округленням ніколи не відхиляється від істинного значення більш ніж на ½ LSB, це його похибка квантування. Кожен додатковий розряд зменшує LSB удвічі й додає близько 6 дБ до ідеального відношення сигнал/шум квантування SQNR = 6,02·N + 1,76 дБ для синуса на повну шкалу. Щоб досягти роздільності r на діапазоні, оберіть найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/r.

Потрібна кількість кроків

5000 mV/1 mV = 5000

Розряди

log₂(5000) = 12,29

2¹² = 4096 < 5000 ≤ 2¹³ = 8192

N = 13

Відповідь

N = 13

4.Збір даних і дискретизація

Відповідь: N = 9

Розв’яжіть відносно N

N ≥ (55 − 1,76)/6,02 = 8,844

Округліть угору

N = 9

перевірка: 6,02·9 + 1,76 = 55,94 dB ≥ 55 dB

Відповідь

N = 9

5.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V₋ = −0,824 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Напруга на входах

Через R₃ і R₄ тече однаковий струм, тож вони утворюють подільник напруги; зворотний зв’язок забезпечує V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = −1·22/(4,7 + 22) = −0,824 V

V₋ = V₊

Відповідь

V₋ = −0,824 V

6.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = 7,443 V

Вхідні струми

V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.

I₁ = V₁/R₁ = −0,6/2 = −0,3 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1,8/47 = −0,0383 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,3383 mA

Вихідна напруга

V_out = −R_f·I_f = −22·(−0,3383) = 7,443 V

Відповідь

V_out = 7,443 V

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,1277 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 10 + 15 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 15·25/(15+25) = 9,375 Ω

R_eq = R₁ + 9,375 = 20 + 9,375 = 29,38 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/29,38 = 0,2043 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,2043·20 = 1,915 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,915/15 = 0,1277 A

Відповідь

I_R2 = 0,1277 A

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 17,19 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 20 + 6 = 26 Ω

R₄ ∥ 26 = 13,93 Ω

R₃ + 13,93 = 17,93 Ω

R₂ ∥ 17,93 = 7,189 Ω

R_eq = R₁ + 7,189 = 10 + 7,189 = 17,19 Ω

Відповідь

R_eq = 17,19 Ω

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: V_th = 9 V

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·3/(2+3) = 1,2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,2 + 5 = 6,2 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·3/(2+3) = 9 V

10.Тевенен і Нортон

Відповідь: V_th = 7,5 V

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 12·4/(12+4) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 3 = 6 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4,5 + 0,5·3 = 6 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 6 + 0,5·3 = 7,5 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Метод

Збір даних і дискретизація

Метод

Схеми з операційними підсилювачами

Послідовні й паралельні резистори

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Напруга Тевенена

Опір Тевенена

Струм гальванометра

Відповідь

Відносна зміна опору

Вихід мосту

Відповідь

Потрібна кількість кроків

Розряди

Відповідь

Розв’яжіть відносно N

Округліть угору

Відповідь

Напруга на входах

Відповідь

Вхідні струми

Вихідна напруга

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Струм джерела

Струм через R₂

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу