Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Збір даних і дискретизація

Критерій Найквіста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Частота аліасу: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Розмір кроку: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Похибка квантування (округлення): ±½ LSB
Код АЦП з відсіканням: D = ⌊V_in/LSB⌋
Кількість розрядів для роздільності r: 2ᴺ ≥ span/r
Ідеальне SQNR, синус на повну шкалу: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Швидкість передавання даних: канали × f_s × N біт/с
АЦП з мультиплексуванням: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/бод; 8N1 = 10 біт на байт; байт/с = бод/біт у кадрі
Дільник швидкості передавання (бод): baud = f_clk/(16·D)

Метод

Випишіть, що дано: частоту дискретизації, частоти сигналу, кількість розрядів, вхідний діапазон, швидкість у бодах.
У задачах на дискретизацію порівнюйте кожну частоту з f_s/2; вища частота виглядає як f_a = |f − k·f_s| з найближчим кратним f_s.
У задачах на роздільність знайдіть 1 LSB = V_FSR/2ᴺ або найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/роздільність.
У задачах на швидкість даних і лінії UART враховуйте все, що передається: канали, відліки за секунду, біти чи цілі байти на відлік, а також стартові, паритетні й стопові біти кожного кадру.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Знайдіть опір Тевенена R_th показаного моста з боку вихідних затискачів a і b.

V_s = 15 VR₁ = 250 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 40 ΩR₄ = 200 Ω

R_th = Ω

2.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Тензорезистор (GF = 2) на елементі з E = 70 GPa утворює чвертьміст із живленням 10 V. Вихід показує 2,5 mV. Знайдіть осьове напруження σ у MPa.

V_s = 10 VGF = 2V_o = 2,5 mVE = 70 GPa

σ = MPa

3.Збір даних і дискретизаціяСередня

Синусоїда 6 kHz дискретизується з частотою 8 kHz без антиаліасингового фільтра. На якій частоті f_a вона з’являється у відліках? Подайте в Hz.

f = 6 kHzf_s = 8 kHz

f_a = Hz

4.Збір даних і дискретизаціяСкладна

Мікроконтролер із тактовою частотою 1 МГц задає швидкість UART як f_clk/(16·D), де D — ціле число, округлене до найближчого значення. Цільова швидкість — 4800 бод. Знайдіть відсоткову похибку реальної швидкості (додатну, якщо вона завелика).

f_clk = 1 MHzціль = 4800 Bd

e = %

5.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

ОП ідеальний і живиться від ±15 V; його вихід насичується на рівні ±14 V. На неінвертувальний підсилювач подається синусоїдальний сигнал. Знайдіть найбільшу амплітуду вхідного сигналу V_in,max (пікове значення), за якої вихідний сигнал не обмежується.

R₁ = 22 kΩR_f = 47 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

6.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

Сумувальний підсилювач використовує ідеальний ОП, що живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V₁ = −0,8 VV₂ = −0,7 VR₁ = 2 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

9.Тевенен і НортонСередня

До a–b підключено навантаження R_L = 8 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження I_L.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 8 Ω

I_L = A

10.Тевенен і НортонСкладна

До a–b підключено навантаження R_L = 3 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження I_L.

V₁ = 10 VI_s = 1 AR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

3Розчини

1.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: R_th = 51,85 Ω

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Джерело замкнене накоротко

R₁∥R₂ = 250·20/270 = 18,52 Ω

R₃∥R₄ = 40·200/240 = 33,33 Ω

Опір Тевенена

R_th = 51,85 Ω

Відповідь

R_th = 51,85 Ω

2.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: σ = 35 MPa

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Деформація

ε = 4·0,0025/(10·2) = 0,0005

Напруження

σ = 70·10³ MPa·0,0005 = 35 MPa

Відповідь

σ = 35 MPa

3.Збір даних і дискретизація

Відповідь: f_a = 2000 Hz

Дискретизація: АЦП вимірює сигнал f_s разів за секунду. За теоремою Найквіста–Шеннона частота f фіксується правильно лише доти, доки f < f_s/2, частота Найквіста (згортання), тож частота дискретизації має перевищувати подвоєну найвищу частоту сигналу. Вища частота не втрачається: вона з’являється як аліас на f_a = |f − k·f_s|, де ціле k дає результат між 0 і f_s/2. Відліки не розрізняють їх, тому аналоговий антиаліасинговий фільтр має прибрати все, що вище f_s/2, перед АЦП.

Частота Найквіста

f_s/2 = 4 kHz < f = 6 kHz

Найближче кратне частоти дискретизації

k = round(6000/8000) = 1

Частота аліасу

f_a = |6000 − 1·8000| = 2000 Hz

Відповідь

f_a = 2000 Hz

Штрихова крива на рисунку — це аліас: вона проходить через ті самі відліки.

4.Збір даних і дискретизація

Відповідь: e = 0,1603 %

UART: асинхронна послідовна лінія передає кожен байт як кадр: один стартовий біт (низький), біти даних, необов’язковий біт парності та один або два стопові біти (високі). Швидкість у бодах — це кількість біт за секунду, тож один біт триває T_b = 1/бод, а кадр із n біт — n/бод. Поширений формат 8N1 має 10 біт на байт. Генератор швидкості ділить тактову частоту: бод = f_clk/(16·D) із цілим D, тож реальна швидкість трохи відрізняється від цільової; похибка менш ніж приблизно 2 % зазвичай прийнятна.

Дільник

D = 1·10⁶/(16·4800) = 13,02 → 13

Реальна швидкість у бодах

1·10⁶/(16·13) = 4808 Bd

Похибка

(4808 − 4800)/4800·100 = 0,1603 %

Відповідь

e = 0,1603 %

Похибка менш ніж приблизно 2 % зазвичай прийнятна.

5.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_in,max = 4,464 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Коефіцієнт підсилення

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 47/22 = 3,136

Найбільший вхідний сигнал без обмеження

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/3,136 = 4,464 V

Відповідь

V_in,max = 4,464 V

6.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = 9,5 V

Вхідні струми

V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.

I₁ = V₁/R₁ = −0,8/2 = −0,4 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,7/22 = −0,03182 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,4318 mA

Вихідна напруга

V_out = −R_f·I_f = −22·(−0,4318) = 9,5 V

Відповідь

V_out = 9,5 V

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 10,24 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 5 + 8 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 12·13/(12+13) = 6,24 Ω

R_eq = R₁ + 6,24 = 4 + 6,24 = 10,24 Ω

Відповідь

R_eq = 10,24 Ω

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,5167 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 6 + 10 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 3,81 Ω

R₃ + 3,81 = 33,81 Ω

R₂ ∥ 33,81 = 3,577 Ω

R_eq = R₁ + 3,577 = 12 + 3,577 = 15,58 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/15,58 = 0,5778 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,5778·12 = 2,067 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,067/4 = 0,5167 A

Відповідь

I_R2 = 0,5167 A

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_L = 0,1644 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·4/(10+4) = 2,857 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,857 + 10 = 12,86 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·4/(10+4) = 3,429 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 3,429/(12,86 + 8) = 0,1644 A

10.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_L = 1,03 A

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 12·8/(12+8) = 4,8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,8 + 25 = 29,8 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4 + 1·4,8 = 8,8 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 8,8 + 1·25 = 33,8 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 33,8/(29,8 + 3) = 1,03 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Метод

Збір даних і дискретизація

Метод

Схеми з операційними підсилювачами

Послідовні й паралельні резистори

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Джерело замкнене накоротко

Опір Тевенена

Відповідь

Деформація

Напруження

Відповідь

Частота Найквіста

Найближче кратне частоти дискретизації

Частота аліасу

Відповідь

Дільник

Реальна швидкість у бодах

Похибка

Відповідь

Коефіцієнт підсилення

Найбільший вхідний сигнал без обмеження

Відповідь

Вхідні струми

Вихідна напруга

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Струм джерела

Струм через R₂

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу