Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Збір даних і дискретизація

Критерій Найквіста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Частота аліасу: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Розмір кроку: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Похибка квантування (округлення): ±½ LSB
Код АЦП з відсіканням: D = ⌊V_in/LSB⌋
Кількість розрядів для роздільності r: 2ᴺ ≥ span/r
Ідеальне SQNR, синус на повну шкалу: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Швидкість передавання даних: канали × f_s × N біт/с
АЦП з мультиплексуванням: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/бод; 8N1 = 10 біт на байт; байт/с = бод/біт у кадрі
Дільник швидкості передавання (бод): baud = f_clk/(16·D)

Метод

Випишіть, що дано: частоту дискретизації, частоти сигналу, кількість розрядів, вхідний діапазон, швидкість у бодах.
У задачах на дискретизацію порівнюйте кожну частоту з f_s/2; вища частота виглядає як f_a = |f − k·f_s| з найближчим кратним f_s.
У задачах на роздільність знайдіть 1 LSB = V_FSR/2ᴺ або найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/роздільність.
У задачах на швидкість даних і лінії UART враховуйте все, що передається: канали, відліки за секунду, біти чи цілі байти на відлік, а також стартові, паритетні й стопові біти кожного кадру.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Міст має чотири плеча по 350 Ω і V_s = 9 V. Датчик R₂ збільшується на ΔR = 0,35 Ω. У наближенні малих змін знайдіть вихід V_ab у mV.

V_s = 9 VR = 350 ΩΔR = 0,35 Ω

V_ab = mV

2.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Тензорезистор (GF = 2,05) на елементі з E = 110 GPa утворює чвертьміст із живленням 10 V. Вихід показує 4,1 mV. Знайдіть осьове напруження σ у MPa.

V_s = 10 VGF = 2,05V_o = 4,1 mVE = 110 GPa

σ = MPa

3.Збір даних і дискретизаціяСередня

UART передає байти зі швидкістю 4800 бод у форматі 8N2: 8 біт даних, без парності та 2 стопових біт(и), плюс стартовий біт. Знайдіть найбільшу кількість байт даних за секунду, яку він може передати.

baud = 4800 Bd8N2

R_B = B/s

4.Збір даних і дискретизаціяСкладна

Мікроконтролер із тактовою частотою 12 МГц задає швидкість UART як f_clk/(16·D), де D — ціле число, округлене до найближчого значення. Цільова швидкість — 2400 бод. Знайдіть відсоткову похибку реальної швидкості (додатну, якщо вона завелика).

f_clk = 12 MHzціль = 2400 Bd

e = %

5.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

Підберіть резистор зворотного зв’язку R_f, щоб цей неінвертувальний підсилювач мав коефіцієнт підсилення за напругою 20.

R₁ = 4,7 kΩA_v = 20

R_f = kΩ

6.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

Сумувальний підсилювач використовує ідеальний ОП, що живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V₁ = 1,1 VV₂ = 0,4 VR₁ = 2 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

9.Тевенен і НортонСередня

До a–b підключено навантаження R_L = 10 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження I_L.

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 10 Ω

I_L = A

10.Тевенен і НортонСкладна

Знайдіть напругу Тевенена V_th з боку затискачів a–b.

V₁ = 18 VI_s = 0,5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 Ω

V_th = V

3Розчини

1.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: V_ab = 2,25 mV

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Відносна зміна

ΔR/R = 0,35/350 = 0,001

Лінеаризований вихід

V_ab ≈ 9·0,001/4 = 2,25 mV

Відповідь

V_ab = 2,25 mV

Точне значення становить 2,249 mV; наближення добре, поки ΔR/R мале.

2.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: σ = 88 MPa

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Деформація

ε = 4·0,0041/(10·2,05) = 0,0008

Напруження

σ = 110·10³ MPa·0,0008 = 88 MPa

Відповідь

σ = 88 MPa

3.Збір даних і дискретизація

Відповідь: R_B = 436,4 B/s

UART: асинхронна послідовна лінія передає кожен байт як кадр: один стартовий біт (низький), біти даних, необов’язковий біт парності та один або два стопові біти (високі). Швидкість у бодах — це кількість біт за секунду, тож один біт триває T_b = 1/бод, а кадр із n біт — n/бод. Поширений формат 8N1 має 10 біт на байт. Генератор швидкості ділить тактову частоту: бод = f_clk/(16·D) із цілим D, тож реальна швидкість трохи відрізняється від цільової; похибка менш ніж приблизно 2 % зазвичай прийнятна.

Біти в кадрі

1 + 8 + 0 + 2 = 11

Швидкість у байтах

4800/11 = 436,4 B/s

Відповідь

R_B = 436,4 B/s

4.Збір даних і дискретизація

Відповідь: e = −0,1597 %

Дільник

D = 12·10⁶/(16·2400) = 312,5 → 313

Реальна швидкість у бодах

12·10⁶/(16·313) = 2396 Bd

Похибка

(2396 − 2400)/2400·100 = −0,1597 %

Відповідь

e = −0,1597 %

Похибка менш ніж приблизно 2 % зазвичай прийнятна.

5.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: R_f = 89,3 kΩ

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

V₋ = V₊ = V_in, а струм через R₁ тече й через R_f, тож V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (20 − 1)·4,7 = 89,3 kΩ

Відповідь

R_f = 89,3 kΩ

6.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = −1,9 V

Вхідні струми

V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.

I₁ = V₁/R₁ = 1,1/2 = 0,55 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0,4/1 = 0,4 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,95 mA

Вихідна напруга

V_out = −R_f·I_f = −2·0,95 = −1,9 V

Відповідь

V_out = −1,9 V

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,1636 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 20 + 10 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 20·30/(20+30) = 12 Ω

R_eq = R₁ + 12 = 10 + 12 = 22 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/22 = 0,2727 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,2727·10 = 3,273 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,273/20 = 0,1636 A

Відповідь

I_R2 = 0,1636 A

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 14,64 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 3 + 6 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 3,214 Ω

R₃ + 3,214 = 13,21 Ω

R₂ ∥ 13,21 = 8,645 Ω

R_eq = R₁ + 8,645 = 6 + 8,645 = 14,64 Ω

Відповідь

R_eq = 14,64 Ω

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_L = 0,8571 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·15/(10+15) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 5 = 11 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·15/(10+15) = 18 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 18/(11 + 10) = 0,8571 A

10.Тевенен і Нортон

Відповідь: V_th = 15,47 V

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 5·12/(5+12) = 3,529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,529 + 2 = 5,529 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12,71 + 0,5·3,529 = 14,47 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 14,47 + 0,5·2 = 15,47 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Метод

Збір даних і дискретизація

Метод

Схеми з операційними підсилювачами

Послідовні й паралельні резистори

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Відносна зміна

Лінеаризований вихід

Відповідь

Деформація

Напруження

Відповідь

Біти в кадрі

Швидкість у байтах

Відповідь

Дільник

Реальна швидкість у бодах

Похибка

Відповідь

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

Відповідь

Вхідні струми

Вихідна напруга

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Струм джерела

Струм через R₂

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу