Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Збір даних і дискретизація

Критерій Найквіста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Частота аліасу: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Розмір кроку: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Похибка квантування (округлення): ±½ LSB
Код АЦП з відсіканням: D = ⌊V_in/LSB⌋
Кількість розрядів для роздільності r: 2ᴺ ≥ span/r
Ідеальне SQNR, синус на повну шкалу: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Швидкість передавання даних: канали × f_s × N біт/с
АЦП з мультиплексуванням: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/бод; 8N1 = 10 біт на байт; байт/с = бод/біт у кадрі
Дільник швидкості передавання (бод): baud = f_clk/(16·D)

Метод

Випишіть, що дано: частоту дискретизації, частоти сигналу, кількість розрядів, вхідний діапазон, швидкість у бодах.
У задачах на дискретизацію порівнюйте кожну частоту з f_s/2; вища частота виглядає як f_a = |f − k·f_s| з найближчим кратним f_s.
У задачах на роздільність знайдіть 1 LSB = V_FSR/2ᴺ або найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/роздільність.
У задачах на швидкість даних і лінії UART враховуйте все, що передається: канали, відліки за секунду, біти чи цілі байти на відлік, а також стартові, паритетні й стопові біти кожного кадру.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Міст із чотирма плечима по 220 Ω живиться від 2 V. Коли датчик R₂ змінюється, вихід показує V_ab = 24,39 mV. Знайдіть точну зміну ΔR опору R₂.

V_s = 2 VR = 220 ΩV_ab = 24,39 mV

ΔR = Ω

2.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Міст із плечима по 350 Ω живиться від 10 V і має чотири активні тензорезистори, два розтягнуті й два стиснуті (повний міст). Коефіцієнт тензочутливості — 2, деформація — 600 µε. Знайдіть вихід мосту V_o у mV.

V_s = 10 VGF = 2ε = 600 µε

V_o = mV

3.Збір даних і дискретизаціяСередня

UART передає байти зі швидкістю 19200 бод у форматі 8E1: 8 біт даних, біт парності й 1 стопових біт(и), плюс стартовий біт. Знайдіть найбільшу кількість байт даних за секунду, яку він може передати.

baud = 19200 Bd8E1

R_B = B/s

4.Збір даних і дискретизаціяСкладна

6-канальний мультиплексор живить один АЦП. Кожне перетворення триває 5 мкс, а після кожного перемикання каналу входу потрібно 0,5 мкс, щоб встановитися. Канали сканують по черзі без пауз. Знайдіть частоту дискретизації f_s кожного каналу в кГц.

n = 6t_c = 5 µst_set = 0,5 µs

f_s = kHz

5.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V_in = −1 VR₁ = 47 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

6.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

Сумувальний підсилювач використовує ідеальний ОП, що живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V₁ = 1,8 VV₂ = −1,5 VR₁ = 2 kΩR₂ = 4,7 kΩR_f = 1 kΩ

V_out = V

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

9.Тевенен і НортонСередня

До a–b підключено навантаження R_L = 5 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження I_L.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 5 Ω

I_L = A

10.Тевенен і НортонСкладна

Знайдіть струм Нортона I_N: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V₁ = 24 VI_s = 6 AR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 Ω

I_N = A

3Розчини

1.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: ΔR = 11 Ω

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напруга вузла

V_a = 1 + 0,02439 = 1,024 V

Розв’язати дільник

R₂ = 220·1,024/(2 − 1,024) = 231 Ω

ΔR = 231 − 220 = 11 Ω

Відповідь

ΔR = 11 Ω

2.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: V_o = 12 mV

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Відносна зміна опору

ΔR/R = 2·600·10⁻⁶ = 0,0012

Вихід мосту

V_o = V_s·GF·ε = 10·0,0012 = 12 mV

Відповідь

V_o = 12 mV

3.Збір даних і дискретизація

Відповідь: R_B = 1745 B/s

UART: асинхронна послідовна лінія передає кожен байт як кадр: один стартовий біт (низький), біти даних, необов’язковий біт парності та один або два стопові біти (високі). Швидкість у бодах — це кількість біт за секунду, тож один біт триває T_b = 1/бод, а кадр із n біт — n/бод. Поширений формат 8N1 має 10 біт на байт. Генератор швидкості ділить тактову частоту: бод = f_clk/(16·D) із цілим D, тож реальна швидкість трохи відрізняється від цільової; похибка менш ніж приблизно 2 % зазвичай прийнятна.

Біти в кадрі

1 + 8 + 1 + 1 = 11

Швидкість у байтах

19200/11 = 1745 B/s

Відповідь

R_B = 1745 B/s

4.Збір даних і дискретизація

Відповідь: f_s = 30,3 kHz

Швидкості даних: кожен канал дає f_s відліків за секунду по N біт, тож сира швидкість дорівнює канали × f_s × N біт/с. У пам’яті відлік займає цілі байти (12-бітний відлік зберігається в 2 байтах), тож пам’ять для запису дорівнює канали × f_s × байти на відлік × час. АЦП з мультиплексуванням перетворює канали один за одним: кожне перетворення (із часом встановлення) триває t, тож один цикл із n каналів триває n·t, а кожен канал дискретизується з частотою 1/(n·t).

Час на канал

5 + 0,5 = 5,5 µs

Час на сканування

6·5,5 = 33 µs

Частота дискретизації на канал

f_s = 1/33 µs = 30,3 kHz

Відповідь

f_s = 30,3 kHz

5.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = −2 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Інвертувальний вхід повторює вхід

V₋ = V₊ = −1 V

I = V₋/R₁ = −1/47 = −0,02128 mA

Вихідна напруга

Струм через R₁ тече й через R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = −1 + (−0,02128)·47 = −2 V

Відповідь

V_out = −2 V

6.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = −0,5809 V

Вхідні струми

V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.

I₁ = V₁/R₁ = 1,8/2 = 0,9 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1,5/4,7 = −0,3191 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,5809 mA

Вихідна напруга

V_out = −R_f·I_f = −1·0,5809 = −0,5809 V

Відповідь

V_out = −0,5809 V

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 1,333 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 5 + 10 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 3·15/(3+15) = 2,5 Ω

R_eq = R₁ + 2,5 = 2 + 2,5 = 4,5 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/4,5 = 1,333 A

Відповідь

I_R1 = 1,333 A

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 16,9 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 10 + 25 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 2,763 Ω

R₃ + 2,763 = 12,76 Ω

R₂ ∥ 12,76 = 6,896 Ω

R_eq = R₁ + 6,896 = 10 + 6,896 = 16,9 Ω

Відповідь

R_eq = 16,9 Ω

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_L = 0,1765 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·6/(20+6) = 4,615 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,615 + 10 = 14,62 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·6/(20+6) = 3,462 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 3,462/(14,62 + 5) = 0,1765 A

10.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_N = 6,72 A

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7,5 + 5 = 12,5 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9 + 6·7,5 = 54 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 54 + 6·5 = 84 V

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

I_N = V_th/R_th = 84/12,5 = 6,72 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Метод

Збір даних і дискретизація

Метод

Схеми з операційними підсилювачами

Послідовні й паралельні резистори

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Напруга вузла

Розв’язати дільник

Відповідь

Відносна зміна опору

Вихід мосту

Відповідь

Біти в кадрі

Швидкість у байтах

Відповідь

Час на канал

Час на сканування

Частота дискретизації на канал

Відповідь

Інвертувальний вхід повторює вхід

Вихідна напруга

Відповідь

Вхідні струми

Вихідна напруга

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Струм джерела

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Еквівалент Нортона

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу