Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Збір даних і дискретизація

Критерій Найквіста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Частота аліасу: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Розмір кроку: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Похибка квантування (округлення): ±½ LSB
Код АЦП з відсіканням: D = ⌊V_in/LSB⌋
Кількість розрядів для роздільності r: 2ᴺ ≥ span/r
Ідеальне SQNR, синус на повну шкалу: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Швидкість передавання даних: канали × f_s × N біт/с
АЦП з мультиплексуванням: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/бод; 8N1 = 10 біт на байт; байт/с = бод/біт у кадрі
Дільник швидкості передавання (бод): baud = f_clk/(16·D)

Метод

Випишіть, що дано: частоту дискретизації, частоти сигналу, кількість розрядів, вхідний діапазон, швидкість у бодах.
У задачах на дискретизацію порівнюйте кожну частоту з f_s/2; вища частота виглядає як f_a = |f − k·f_s| з найближчим кратним f_s.
У задачах на роздільність знайдіть 1 LSB = V_FSR/2ᴺ або найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/роздільність.
У задачах на швидкість даних і лінії UART враховуйте все, що передається: канали, відліки за секунду, біти чи цілі байти на відлік, а також стартові, паритетні й стопові біти кожного кадру.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Міст має чотири плеча по 1000 Ω і V_s = 3 V. Датчик R₂ збільшується на ΔR = 50 Ω. Знайдіть точний вихід V_ab у mV.

V_s = 3 VR = 1000 ΩΔR = 50 Ω

V_ab = mV

2.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Чвертьміст (один активний тензорезистор, GF = 2) живиться від 5 V. Найбільшу вимірювану деформацію 250 µε треба перетворити на 3,3 V на вході аналого-цифрового перетворювача. Знайдіть коефіцієнт підсилення підсилювача G.

V_s = 5 VGF = 2ε_max = 250 µεV_FS = 3,3 V

G =

3.Збір даних і дискретизаціяСередня

Знайдіть ідеальне відношення сигнал/шум квантування SQNR 24-розрядного АЦП для синусоїди на повну шкалу.

N = 24

SQNR = dB

4.Збір даних і дискретизаціяСкладна

8-канальний мультиплексор живить один АЦП. Кожне перетворення триває 4 мкс, а після кожного перемикання каналу входу потрібно 2 мкс, щоб встановитися. Канали сканують по черзі без пауз. Знайдіть частоту дискретизації f_s кожного каналу в кГц.

n = 8t_c = 4 µst_set = 2 µs

f_s = kHz

5.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V_in = −0,5 VR_a = 22 kΩR_b = 22 kΩR₁ = 2 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

6.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

Інтегратор використовує ідеальний ОП із живленням ±15 V; його вихід насичується на рівні ±14 V. Конденсатор розряджений, коли при t = 0 подається стала вхідна напруга V_in = 2,7 V. Через який час після t = 0 вихід досягне насичення? Знайдіть t.

V_in = 2,7 VR = 100 kΩC = 0,22 µFV_sat = ±14 V

t = ms

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

9.Тевенен і НортонСередня

Знайдіть напругу Тевенена V_th з боку затискачів a–b.

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

10.Тевенен і НортонСкладна

До a–b підключено навантаження R_L = 30 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження I_L.

V₁ = 6 VI_s = 1,5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 30 Ω

I_L = A

3Розчини

1.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: V_ab = 36,59 mV

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напруги вузлів

V_a = 3·1050/2050 = 1,537 V

V_b = 1,5 V

Виведення

V_ab = 36,59 mV

Відповідь

V_ab = 36,59 mV

Лінійна оцінка V_s·ΔR/(4R) = 37,5 mV завищена на 2,5 %: чвертьміст не зовсім лінійний.

2.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: G = 5280

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Вихід мосту на повній шкалі

V_o = 0,625 mV

Коефіцієнт підсилення

G = 3,3/0,000625 = 5280

Відповідь

G = 5280

3.Збір даних і дискретизація

Відповідь: SQNR = 146,2 dB

Роздільність АЦП: N-розрядний перетворювач ділить свій діапазон повної шкали V_FSR на 2ᴺ кодів, від 0 до 2ᴺ − 1. Один крок дорівнює 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: найменша зміна, яку може показати перетворювач. АЦП з відсіканням дає код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП із округленням ніколи не відхиляється від істинного значення більш ніж на ½ LSB, це його похибка квантування. Кожен додатковий розряд зменшує LSB удвічі й додає близько 6 дБ до ідеального відношення сигнал/шум квантування SQNR = 6,02·N + 1,76 дБ для синуса на повну шкалу. Щоб досягти роздільності r на діапазоні, оберіть найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/r.

Ідеальне SQNR

SQNR = 6,02·24 + 1,76 = 146,2 dB

Відповідь

SQNR = 146,2 dB

4.Збір даних і дискретизація

Відповідь: f_s = 20,83 kHz

Швидкості даних: кожен канал дає f_s відліків за секунду по N біт, тож сира швидкість дорівнює канали × f_s × N біт/с. У пам’яті відлік займає цілі байти (12-бітний відлік зберігається в 2 байтах), тож пам’ять для запису дорівнює канали × f_s × байти на відлік × час. АЦП з мультиплексуванням перетворює канали один за одним: кожне перетворення (із часом встановлення) триває t, тож один цикл із n каналів триває n·t, а кожен канал дискретизується з частотою 1/(n·t).

Час на канал

4 + 2 = 6 µs

Час на сканування

8·6 = 48 µs

Частота дискретизації на канал

f_s = 1/48 µs = 20,83 kHz

Відповідь

f_s = 20,83 kHz

5.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = −0,5 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Напруга на вході +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = −0,5·22/(22 + 22) = −0,25 V

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

V₋ = V₊, і струм через R₁ тече також через R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = −0,25·(1 + 2/2) = −0,5 V

Відповідь

V_out = −0,5 V

6.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: t = 114,1 ms

Вхідний струм і швидкість наростання

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

RC = 100 kΩ · 0,22 µF = 22 ms

швидкість наростання = −V_in/(RC) = −2,7/22 = −0,1227 V/ms

Час до насичення

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 14·22/2,7 = 114,1 ms

Відповідь

t = 114,1 ms

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 10,77 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 15 + 6 = 21 Ω

R₂ ∥ 21 = 10·21/(10+21) = 6,774 Ω

R_eq = R₁ + 6,774 = 4 + 6,774 = 10,77 Ω

Відповідь

R_eq = 10,77 Ω

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 20,28 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 12 + 12 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 1,846 Ω

R₃ + 1,846 = 31,85 Ω

R₂ ∥ 31,85 = 12,28 Ω

R_eq = R₁ + 12,28 = 8 + 12,28 = 20,28 Ω

Відповідь

R_eq = 20,28 Ω

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: V_th = 5 V

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 8·4/(8+4) = 2,667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,667 + 5 = 7,667 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·4/(8+4) = 5 V

10.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_L = −0,7074 A

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 12·8/(12+8) = 4,8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,8 + 25 = 29,8 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2,4 + (−1,5)·4,8 = −4,8 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −4,8 + (−1,5)·25 = −42,3 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −42,3/(29,8 + 30) = −0,7074 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Метод

Збір даних і дискретизація

Метод

Схеми з операційними підсилювачами

Послідовні й паралельні резистори

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Напруги вузлів

Виведення

Відповідь

Вихід мосту на повній шкалі

Коефіцієнт підсилення

Відповідь

Ідеальне SQNR

Відповідь

Час на канал

Час на сканування

Частота дискретизації на канал

Відповідь

Напруга на вході +

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

Відповідь

Вхідний струм і швидкість наростання

Час до насичення

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу