Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Збір даних і дискретизація

Критерій Найквіста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Частота аліасу: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Розмір кроку: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Похибка квантування (округлення): ±½ LSB
Код АЦП з відсіканням: D = ⌊V_in/LSB⌋
Кількість розрядів для роздільності r: 2ᴺ ≥ span/r
Ідеальне SQNR, синус на повну шкалу: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Швидкість передавання даних: канали × f_s × N біт/с
АЦП з мультиплексуванням: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/бод; 8N1 = 10 біт на байт; байт/с = бод/біт у кадрі
Дільник швидкості передавання (бод): baud = f_clk/(16·D)

Метод

Випишіть, що дано: частоту дискретизації, частоти сигналу, кількість розрядів, вхідний діапазон, швидкість у бодах.
У задачах на дискретизацію порівнюйте кожну частоту з f_s/2; вища частота виглядає як f_a = |f − k·f_s| з найближчим кратним f_s.
У задачах на роздільність знайдіть 1 LSB = V_FSR/2ᴺ або найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/роздільність.
У задачах на швидкість даних і лінії UART враховуйте все, що передається: канали, відліки за секунду, біти чи цілі байти на відлік, а також стартові, паритетні й стопові біти кожного кадру.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Міст має чотири плеча по 250 Ω і V_s = 12 V. Датчик R₂ збільшується на ΔR = 37,5 Ω. Знайдіть точний вихід V_ab у mV.

V_s = 12 VR = 250 ΩΔR = 37,5 Ω

V_ab = mV

2.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Тензорезистор (GF = 2) на елементі з E = 200 GPa утворює чвертьміст із живленням 3 V. Вихід показує 1,125 mV. Знайдіть осьове напруження σ у MPa.

V_s = 3 VGF = 2V_o = 1,125 mVE = 200 GPa

σ = MPa

3.Збір даних і дискретизаціяСередня

10-розрядний АЦП із вхідним діапазоном від 0 до 10 В відсікає: його вихідний код — ⌊V_in/LSB⌋ при 1 LSB = V_FSR/2ᴺ. Знайдіть десятковий вихідний код D для входу 7,761 В.

N = 10V_FSR = 10 VV_in = 7,761 V

D =

4.Збір даних і дискретизаціяСкладна

Прямокутний сигнал 1,2 kHz дискретизується з частотою 5 kHz без антиаліасингового фільтра. Прямокутний сигнал містить непарні гармоніки 3f₁, 5f₁, 7f₁, … На якій частоті f_a у дискретизованих даних з’являється його гармоніка 7f₁? Подайте в Hz.

f₁ = 1,2 kHzf_s = 5 kHzгармоніка: 7f₁

f_a = Hz

5.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

ОП ідеальний і живиться від ±15 V; його вихід насичується на рівні ±13 V. На інвертувальний підсилювач подається синусоїдальний сигнал. Знайдіть найбільшу амплітуду вхідного сигналу V_in,max (пікове значення), за якої вихідний сигнал не обмежується.

R₁ = 22 kΩR_f = 100 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

6.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

Два каскади на ідеальних ОП увімкнено послідовно: інвертувальний підсилювач (R₁, R_f1), за ним неінвертувальний (R₂ на землю, R_f2 у колі зворотного зв’язку). Обидва живляться від ±15 V. Вхідна напруга V_in = −0,1 V. Знайдіть вихідну напругу V_out.

R₁ = 4,7 kΩR_f1 = 22 kΩR₂ = 2 kΩR_f2 = 4,7 kΩV_in = −0,1 V

V_out = V

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 25 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

9.Тевенен і НортонСередня

Знайдіть напругу Тевенена V_th з боку затискачів a–b.

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 Ω

V_th = V

10.Тевенен і НортонСкладна

Знайдіть струм Нортона I_N: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V₁ = 5 VI_s = 0,5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 10 Ω

I_N = A

3Розчини

1.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: V_ab = 418,6 mV

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напруги вузлів

V_a = 12·287,5/537,5 = 6,419 V

V_b = 6 V

Виведення

V_ab = 418,6 mV

Відповідь

V_ab = 418,6 mV

Лінійна оцінка V_s·ΔR/(4R) = 450 mV завищена на 7,5 %: чвертьміст не зовсім лінійний.

2.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: σ = 150 MPa

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Деформація

ε = 4·0,001125/(3·2) = 0,00075

Напруження

σ = 200·10³ MPa·0,00075 = 150 MPa

Відповідь

σ = 150 MPa

3.Збір даних і дискретизація

Відповідь: D = 794

Роздільність АЦП: N-розрядний перетворювач ділить свій діапазон повної шкали V_FSR на 2ᴺ кодів, від 0 до 2ᴺ − 1. Один крок дорівнює 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: найменша зміна, яку може показати перетворювач. АЦП з відсіканням дає код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП із округленням ніколи не відхиляється від істинного значення більш ніж на ½ LSB, це його похибка квантування. Кожен додатковий розряд зменшує LSB удвічі й додає близько 6 дБ до ідеального відношення сигнал/шум квантування SQNR = 6,02·N + 1,76 дБ для синуса на повну шкалу. Щоб досягти роздільності r на діапазоні, оберіть найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/r.

Розмір кроку

1 LSB = 10/2¹⁰ = 9,766 mV

Код

V_in/LSB = 7761/9,766 = 794,7

код = ⌊794,7⌋ = 794

Відповідь

D = 794

У двійковому записі це 1100011010.

4.Збір даних і дискретизація

Відповідь: f_a = 1600 Hz

Дискретизація: АЦП вимірює сигнал f_s разів за секунду. За теоремою Найквіста–Шеннона частота f фіксується правильно лише доти, доки f < f_s/2, частота Найквіста (згортання), тож частота дискретизації має перевищувати подвоєну найвищу частоту сигналу. Вища частота не втрачається: вона з’являється як аліас на f_a = |f − k·f_s|, де ціле k дає результат між 0 і f_s/2. Відліки не розрізняють їх, тому аналоговий антиаліасинговий фільтр має прибрати все, що вище f_s/2, перед АЦП.

Частота гармоніки

7f₁ = 7·1,2 kHz = 8,4 kHz

Найближче кратне частоти дискретизації

m = round(1,68) = 2

Частота аліасу

f_a = |8400 − 2·5000| = 1600 Hz

Відповідь

f_a = 1600 Hz

Аліас потрапляє всередину смуги сигналу, де жоден цифровий фільтр його не прибере. Допоможе лише аналоговий фільтр перед АЦП.

5.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_in,max = 2,86 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Коефіцієнт підсилення

|A_v| = R_f/R₁ = 100/22 = 4,545

Найбільший вхідний сигнал без обмеження

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/4,545 = 2,86 V

Відповідь

V_in,max = 2,86 V

6.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = 1,568 V

Коефіцієнт підсилення кожного каскаду

A₁ = −R_f1/R₁ = −22/4,7 = −4,681

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 4,7/2 = 3,35

Каскад за каскадом

V₁ = −4,681·(−0,1) = 0,4681 V

V_out = 3,35·0,4681 = 1,568 V

Відповідь

V_out = 1,568 V

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 6,364 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 6·16/(6+16) = 4,364 Ω

R_eq = R₁ + 4,364 = 2 + 4,364 = 6,364 Ω

Відповідь

R_eq = 6,364 Ω

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,215 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 3 + 15 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 5,538 Ω

R₃ + 5,538 = 10,54 Ω

R₂ ∥ 10,54 = 3,391 Ω

R_eq = R₁ + 3,391 = 25 + 3,391 = 28,39 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/28,39 = 0,317 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,317·25 = 1,075 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,075/5 = 0,215 A

Відповідь

I_R2 = 0,215 A

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: V_th = 9 V

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·10/(10+10) = 5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5 + 20 = 25 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·10/(10+10) = 9 V

10.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_N = 0,8261 A

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 4·30/(4+30) = 3,529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,529 + 10 = 13,53 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4,412 + 0,5·3,529 = 6,176 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 6,176 + 0,5·10 = 11,18 V

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

I_N = V_th/R_th = 11,18/13,53 = 0,8261 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Вимірювання та вимірювальна техніка: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Міст Вітстона й тензорезистори

Метод

Збір даних і дискретизація

Метод

Схеми з операційними підсилювачами

Послідовні й паралельні резистори

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Напруги вузлів

Виведення

Відповідь

Деформація

Напруження

Відповідь

Розмір кроку

Код

Відповідь

Частота гармоніки

Найближче кратне частоти дискретизації

Частота аліасу

Відповідь

Коефіцієнт підсилення

Найбільший вхідний сигнал без обмеження

Відповідь

Коефіцієнт підсилення кожного каскаду

Каскад за каскадом

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Струм джерела

Струм через R₂

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Еквівалент Нортона

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу