Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з алюміній (діаметр 60 мм, довжина 200 мм, E = 70 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,25 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 250 МПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 70 ГПа, допустиме напруження 100 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) завдовжки 1 m передає обертовий момент 200 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 2°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 200 N·mL = 1 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) діаметром 30 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 1 m від A і 0,8 m від B, прикладено обертовий момент 1000 N·m. Знайдіть кут повороту φ_C перерізу C у градусах.

d = 30 mmT₀ = 1000 N·ma = 1 mb = 0,8 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 8,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 4 kN/m від 0 до 10 mx = 8,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

55 kN @ 12 m60 kN @ 6 m10 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 5 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mmM = 5 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 80 MPa, σᵧ = 0 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 35° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 80 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 150 MPa, σᵧ = −60 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σ_vM.

σ_x = 150 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPa

σ_vM = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 0,5 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 26 kNa = 0,5 mL = 5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 100 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/250. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 2,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 100 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 85 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 85 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 54,98 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·2827) = 1,011 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,25/4,547 × 10⁻⁶ = 54978 N = 54,98 kN

Відповідь

P = 54,98 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 582,2 kN

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·3063 = 4,657 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00125, 0,001429) = 0,00125 (сталь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,00125·4,657 × 10⁸ = 582176 N = 582,2 kN

Відповідь

P_max = 582,2 kN

3.Кручення валів

Відповідь: d = 38,71 mm

Потрібний полярний момент інерції

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·1000/(26000·0,03491) = 220368 mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 38,71 mm

Відповідь

d = 38,71 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 8,211 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише T_A + T_B = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·0,8/1,8 = 444,4 N·m

T_B = 1000·1/1,8 = 555,6 N·m

Кут повороту C

Використайте ділянку AC: вона закріплена в A і передає T_A.

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 444444·1000/(39000·79522) = 0,1433 rad = 8,211°

Відповідь

φ_C = 8,211°

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 25,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Розріжте в x = 8,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 20·8,5 − 4·8,5·4,25 = 25,5 kN·m

Відповідь

M_x = 25,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 63 kN, R₂ = 152 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 106, M_C = 172, M_D = 198 kN·m, M_E = 64, M_F = −110, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 198 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 7,532 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

стінка: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·147,5 + 1680·70)/3180 = 106,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 100·15³/12 + 1500·(147,5 − 106,6)² = 2,543 × 10⁶ mm⁴

стінка: 12·140³/12 + 1680·(70 − 106,6)² = 4,989 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,543 × 10⁶ + 4,989 × 10⁶ = 7,532 × 10⁶ mm⁴ = 7,532 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 7,532 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 19,58 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

стінка: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·265 + 3640·130)/6040 = 183,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 240·10³/12 + 2400·(265 − 183,6)² = 1,591 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·260³/12 + 3640·(130 − 183,6)² = 3,098 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,591 × 10⁷ + 3,098 × 10⁷ = 4,689 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 183,6 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·183,6/4,689 × 10⁷ = 19,58 MPa

Відповідь

σ_низ = 19,58 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 54,51 MPa

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 40 − 40·0,342 − (−30)·0,9397 = 54,51 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 25,49 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 80 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 54,51 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_vM = 199,7 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 45 MPa, R = 112,4 MPa

σ₁ = 157,4 MPa, σ₂ = −67,36 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(157,4² − 157,4·(−67,36) + (−67,36)²) = 199,7 MPa

Відповідь

σ_vM = 199,7 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 8,925 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 26000 N, a = 500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,6155 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001847 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 8,925 mm

Відповідь

δ_B = 8,925 mm

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 267,7 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/250 = 6000/250 = 24 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·6000⁴/(384·11000·24) = 1,598 × 10⁸ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·1,598 × 10⁸/100)^1/3 = 267,7 mm

Відповідь

h_req = 267,7 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 109,9 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109,9 kN

Відповідь

P_cr = 109,9 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 66,65 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·85000 = 212500 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 66,65 mm

Відповідь

d = 66,65 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 180, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials