Машинобудування

Опір матеріалів: тренувальні задачі й екзаменаційні питання

Спробуй задачу зараз: у кожній задачі нові числа, підказка і повний покроковий розв’язок.

7тем3рівні, від легкого до складного5безкоштовно на день, без картки
Тренуйте цей курс безкоштовноТренувати цей курсСкласти пробний іспит
Безкоштовна задачаЛегка
80 kNØ30100 GPaØ100/50800 mmσr​ = ?

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 100 ГПа). Обидва мають довжину 800 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть напруження стиску σr у стрижні.

P = 80 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
MPa
Наступна задача →

Теми цього курсу

Осьове напруження й деформаціянормальне напруження · деформація й видовження · ступінчастий стриженьКручення валівдотичне напруження · кут закручування · передача потужностіПоперечна сила і згинальний моментзосереджена сила · розподілене навантаження на весь проліт · зосереджена сила + розподілене навантаженняЦентр ваги й момент інерціїцентр ваги · момент інерції · напруження згинуКоло Мора й перетворення напруженьголовні напруження · найбільше дотичне напруження й головний напрямок · напруження на похилій площадціПрогин балкиконсоль, сила на кінці · рівномірне навантаження · накладання і проєктуванняСтійкість колоншарнірні кінці · інші умови закріплення · проєктування і критичне напруженняСкласти пробний іспитНа час, без підказок, з оцінкою і повним розбором наприкінці

Безкоштовно на старті. Без обмежень, коли ти серйозно.

Безкоштовно

0 €, без картки

  • 5 безкоштовних задач на день
  • Підказки й повні пояснення
  • Калькулятори, робочі аркуші та PDF
Зареєструватися
Без обмежень2,08 EUR на місяць

24,99 EUR на рік або 4,99 EUR щомісяця. Скасувати можна будь-коли.

  • Без денного ліміту: тренуй кожну тему скільки хочеш
  • Де я помилився? покрокова перевірка в обчислювальних задачах
  • Багатоетапний рівень: задачі як на іспиті, на крок складніші за Складний
  • Пропонуйте й голосуйте щодо наступних тем і курсів
Перейти на необмежений

Поради до іспиту: Опір матеріалів

  1. 1

    Використовуйте узгоджені одиниці: ньютони й міліметри одразу дають напруження в MPa.

  2. 2

    При крученні у формулі τ = T·r/J використовуйте радіус, а не діаметр.

  3. 3

    При розрахунку на стійкість перевірте умови закріплення кінців: зведена довжина може змінити критичне навантаження аж у 16 разів.

Розв’язані приклади

Осьове напруження й деформаціяЛегка
300 kNØ30120 GPaØ100/50500 mmσr​ = ?

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа). Обидва мають довжину 500 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 300 кН. Знайдіть напруження стиску σr у стрижні.

P = 300 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

Знайти: σr (MPa)

Показати підказки
  1. Жорсткі плити: стрижень і труба вкорочуються однаково, тож ε в обох однакова.
  2. ε = P/ΣEA.
  3. σ = E·ε.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Спільна деформація

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Напруження в стрижні

σr = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Відповідь

σr = 70,74 MPa
Кручення валівСередня
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mφ = ?

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

Знайти: φ (°)

Показати підказки
  1. Скористайтеся φ = TL/(GJ), що дає радіани.
  2. Скрізь використовуйте N і mm: T у N·mm, L у mm, G у MPa (GPa × 1000), J у mm⁴.
  3. J = 251327 mm⁴.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°

Відповідь

φ = 6,576°
Про цей курс

Напруження, деформації й переміщення стрижнів, валів, балок і колон. Екзаменаційні задачі поєднують крок зі статики (внутрішні зусилля) з кроком з опору матеріалів (напруження або прогин), тож помилка на першому кроці переходить далі.

Як проходить тренування
  • «Тренувати цей курс» змішує задачі з усіх його тем, як на справжньому іспиті.
  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Пробні іспити обмежені в часі й не мають підказок, а наприкінці ви отримуєте результат і повний розбір.
Шпаргалка-підсумок (PDF)

Аркуші з формулами, кроки методів і задачі для практики з повними розв’язками, готові до друку. Шпаргалка-підсумок (PDF)

Калькулятори для цього курсу
Калькулятор прогину балкиКалькулятор епюр поперечних сил і згинальних моментівКалькулятор кручення валаКалькулятор осьового напруження й деформаціїКалькулятор втрати стійкості за ЕйлеромКалькулятор кола МораКалькулятор моменту інерції (осьовий момент інерції перерізу)Калькулятор напруження згину (σ = My/I)Калькулятор теплового розширенняКалькулятор центра ваги (складені фігури та багатокутники)
Пов’язані курси
Підготовка до іспиту FE MechanicalДеталі машинПідготовка до іспиту FE CivilБудівельна механікаСтатикаДинамікаТермодинаміка 1Механіка рідини